1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 两直线的位置关系 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1： y k1x b1， l2： y k2x b2，若其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1 l2?k1 k2， b1 b2. 当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1、 k2，则有 l1 l2?k1k2 1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时， l1 l2. 2.两条直线的交点 直线 l1
2、： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组? A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0 的解 考点 2 三种距离公式 1.两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离 |P1P2| ?x1 x2?2 ?y1 y2?2. 2.点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C 0 的距离 d |Ax0 By0 C|A2 B2 . 3.两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0(其中 C1 C2)间的距离 d |C1 C2|A2 B2. 必会结论 1.与直线 Ax By C 0(A2 B20)
3、垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直： Bx Ay m 0； (2)平行： Ax By n 0. 2.与对称问题相关的两个结论： (1)点 P(x0， y0)关于 A(a， b)的对称点为 P(2 a x0,2b y0) (2)设点 P(x0， y0)关于直线 y kx b 的对称点为 P( x ， y) ，则有=【 ;精品教育资源文库 】 = ? y y0x x0 k 1，y y02 kx x02 b，可求出 x ， y. 考点自测 1.判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交 ( ) (2)点 P(x0， y0)到直线
4、 y kx b 的距离为 |kx0 b|1 k2 .( ) (3)直线外一点与直线上一点 的距离的最小值就是点到直线的距离 ( ) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离 ( ) (5)若点 A， B 关于直线 l： y kx b(k0) 对称，则直线 AB 的斜率等于 1k，且线段 AB的中点在直线 l 上 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.课本改编 过点 (1,0)且与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程是 ( ) A.x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C.2x y 2 0 D x 2y 1 0
5、答案 A 解析 设直线方程为 x 2y c 0，又经过点 (1,0)，故 c 1，所求方程为 x 2y 1 0. 3.2018 重庆模拟 若直线 ax 2y 1 0 与直线 x y 2 0 互相垂直，那么 a 的值等于 ( ) A.1 B 13 C 23 D 2 答案 D 解析 由 a1 21 0 得 a 2，故选 D. 4.课本改编 已知点 (a,2)(a0)到直线 l： x y 3 0 的距离为 1，则 a 等于 ( ) A. 2 B 2 2 C. 2 1 D. 2 1 答案 C 解析 由题意知 |a 2 3|2 1， |a 1| 2，又 a0， a 2 1. 5.课本改编 平行线 3x
6、4y 9 0 和 6x 8y 2 0 的距离是 ( ) A.85 B 2 C.115 D.75 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 依题意得，所求的距离等于 | 18 2|62 82 2. 6.2018 南宁模拟 直线 x 2y 1 0 关于直线 x 1 对称的直线方程是 ( ) A.x 2y 1 0 B 2x y 1 0 C.2x y 3 0 D x 2y 3 0 答案 D 解析 设所求直线上任一点 (x， y)，则它关于直线 x 1 的对称点 (2 x， y)在直线 x2y 1 0 上，即 2 x 2y 1 0，化简得 x 2y 3 0. 板块二 典例探究 考向突破 考向 平
7、行与垂直问题 例 1 (1)直线 2x y m 0 和 x 2y n 0 的位 置关系是 ( ) A.平行 B垂直 C.相交但不垂直 D不能确定 答案 C 解析 由? 2x y m 0，x 2y n 0， 可得 3x 2m n 0，由于 3x 2m n 0 有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为 2， 12，斜率之积不等于 1，故不垂直 . (2)2018 金华十校模拟 “ 直线 ax y 0 与直线 x ay 1 平行 ” 是 “ a 1” 成立的( ) A.充分不必要条件 B必要不充 分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由直线 ax y 0
8、与 x ay 1 平行，得 a2 1，即 a 1 ，所以 “ 直线 ax y 0与 x ay 1 平行 ” 是 “ a 1” 的必要不充分条件 . 触类旁通 两直线位置关系问题的解题策略 (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和 l2， l1 l2?k1 k2， l1 l2?k1 k2 1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意 (2)设 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0，则 l1 l2?A1A2 B1B2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变式训练 1】 (1)
9、“ m 3” 是 “ 直线 l1： 2(m 1)x (m 3)y 7 5m 0 与直线 l2：(m 3)x 2y 5 0 垂直 ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 l1 l2，得 2(m 1)(m 3) 2(m 3) 0， m 3 或 m 2， m 3 是 l1 l2的充分不必要条件 . (2)2018 宁夏模拟 若直线 l1： x 2my 1 0 与 l2： (3m 1)x my 1 0 平行，则实数 m 的值为 _ 答案 0 或 16 解析 因为直线 l1： x 2my 1 0 与 l2： (3m 1)x
10、my 1 0 平行，则斜率相等或者斜率不存在， 12m 3m 1m 或者 m 0， m 16或 0. 考向 距离公式的应用 例 2 2018 潍坊模拟 已知点 P(2， 1) (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否 存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为 (2， 1)，显然，过 P(2， 1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x 2. 若斜率
11、存在，设 l 的方程为 y 1 k(x 2)， 即 kx y 2k 1 0. 由已知得 | 2k 1|k2 1 2，解得 k 34， 此时 l 的方程为 3x 4y 10 0. 综上，可得直线 l 的方程为 x 2 或 3x 4y 10 0. (2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 l OP，得 klkOP 1，所以 kl 1kOP 2. 由直线方程的点斜式得 y 1 2(x 2)，即 2x y 5 0. 所以直线 2x y 5 0是过点 P且与原点 O的距离最大的直线，最大距离为 | 5|5 5. (
12、3)由 (2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线 . 触类旁通 与距离有关问题的常见类型 及解题策略 (1)求距离利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离 (2)已知距离求参数值列方程求出参数 (3)求距离的最值可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值 . 【变式训练 2】 (1)若直线 l1： x 2y m 0(m0)与直线 l2： x ny 3 0 之间的距离是 5，则 m n ( ) A.0 B 1 C 1 D 2 答案 A 解析 直线 l1： x 2y m 0(m0)与直线 l2： x
13、ny 3 0 之间的距离为 5， ? n 2，|m 3|5 5， n 2， m 2(负值舍去 )， m n 0. (2)已知点 A( 3， 4)， B(6,3)到直线 l： ax y 1 0 的距离相等，则实数 a 的值为_ 答案 13或 79 解析 由题意及点到直线的距离公式得 | 3a 4 1|a2 1 |6a 3 1|a2 1 ，解得 a 13或 79. 考向 对称问题 命题角度 1 点关于点的对称 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 3 过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1： 2x y 8 0 和 l2： x 3y 10 0 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程 解
14、 设 l1与 l 的交点为 A(a,8 2a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B( a,2a 6)在 l2上，代入 l2的方程得 a 3(2a 6) 10 0， 解得 a 4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x 4y 4 0. 命题角度 2 点关于线的对称 例 4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0,2)与点 (4,0)重合，点 (7,3)与点 (m， n)重合，则 m n _. 答案 345 解析 由题可知纸的折痕应是点 (0,2)与点 (4,0)连线的中垂线，即直线 y 2x 3，它也是点 (7,3)与点 (m， n)连线的中垂线，于是
15、? 3 n2 2 7 m2 3，n 3m 712，解得? m 35，n 315 ，故 m n 345. 命题角度 3 直线关于直线的对称 例 5 直线 2x y 3 0 关于直线 x y 2 0 对称的直线方程是 ( ) A.x 2y 3 0 B x 2y 3 0 C.x 2y 1 0 D x 2y 1 0 答案 A 解析 设所求直线上任意一点 P(x， y)，则 P 关于 x y 2 0 的对称点为 P( x0， y0)， 由? x x02 y y02 2 0，x x0 ?y y0?，得? x0 y 2，y0 x 2， 由点 P( x0， y0)在直线 2x y 3 0 上， 则 2(y 2) (x 2) 3 0，即 x 2y 3 0. 命题角度 4 对称问题的应用 例 6 已知直线 l： x 2y 8 0 和两点 A(2,0)， B( 2， 4) (1)在直线 l
