1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 7 讲 解三角形的应用举例 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1已知 A， B 两地间的距离为 10 km， B， C 两地间的距离为 20 km，现测得 ABC 120 ，则 A， C 两地间的距离为 ( ) A 10 km B 10 3 km C 10 5 km D 10 7 km 答案 D 解析 如图所示，由余弦定理可得： AC2 100 400 21020cos120 700， AC 10 7(km) 2 2018 武汉模拟 海面上有 A， B， C 三个灯塔， AB 10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望
2、 C 和 A 成 75 视角，则 BC ( ) A 10 3 n mile B.10 63 n mile C 5 2 n mile D 5 6 n mile 答案 D 解析 由题意可知， CAB 60 ， CBA 75 ，所以 C 45 ，由正弦定理得 10sin45 BCsin60 ，所以 BC 5 6. 3.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站C 的北偏东 20 ，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A a km B. 3a km C. 2a km D 2a km =【 ;精品教育资
3、源文库 】 = 答案 B 解析 在 ABC 中 ， 由余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos ACB a2 a22a2cos120 3a2， 故 |AB| 3a. 4 2018 临沂质检 在 200 m 高 的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30 、60 ，则塔高为 ( ) A.4003 m B.400 33 m C.200 33 m D.2003 m 答案 A 解析 如图，由已知可得 BAC 30 ， CAD 30 ， BCA 60 ， ACD 30 ， ADC 120 ， 又 AB 200， AC 400 33 . 在 ACD 中，由正弦定理，得 ACsin120
4、DCsin30 ，即 DCACsin30sin120 4003 (m) 5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB 1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) A 8 km/h B 6 2 km/h C 2 34 km/h D 10 km/h 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知， sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得 ?
5、?110v 2 ? ?1102 2 12 2 11021 45，解得v 6 2. 6.如图，某工程 中要将一长为 100 m，倾斜角为 75 的斜坡改造成倾斜角为 30 的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 _m. 答案 100 2 解析 设坡底需加长 x m，由正弦定理得 100sin30 xsin45 ，解得 x 100 2. 7.如图，为了测量 A， C 两点间的距离，选取同一平面上 B， D 两点，测出四边形 ABCD各边的长度 (单位： km)： AB 5， BC 8， CD 3， DA 5，且 B 与 D 互补，则 AC 的长为_km. 答案 7 解析 82 52 285cos(
6、D) 32 52 235cos D， cosD 12. AC49 7(km) 8.2018 河南调研 如图，在山底 A 点处测得山顶仰角 CAB 45 ，沿倾斜角为 30=【 ;精品教育资源文库 】 = 的斜坡走 1000 米至 S 点，又测得山顶仰角 DSB 75 ，则山高 BC 为 _米 答案 1000 解析 由题图知 BAS 45 30 15 ， ABS 45 (90 DSB) 30 ， ASB 135 ，在 ABS 中，由正弦定理可得 1000sin30 ABsin135 ， AB 1000 2， BC AB21000(米 ) 9.2018 山西监测 如图，点 A， B， C 在同一水
7、平面上， AC 4， CB 6.现要在点 C 处搭建一个观测站 CD，点 D 在顶端 (1)原计划 CD 为铅垂线方向， 45 ，求 CD 的长； (2)搭建完成后，发现 CD 与铅垂线方向有偏差，并测得 30 ， 53 ，求 CD2.(结果精确到 1) (本题参考数据： sin971 ， cos530.6) 解 (1) CD 为铅垂线方向，点 D 在顶端， CD AB. 又 45 ， CD AC 4. (2)在 ABD 中， 53 30 83 ， AB AC CB 4 6 10， ADB 180 83 97 ， 由 ADsin ABsin ADB得 AD ABsinsin ADB 10sin
8、30sin97 5sin97 5. 在 ACD 中， CD2 AD2 AC2 2AD ACcos 52 42 254cos5317. 10.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45 方向，距 A 处 ( 3 1)海里的 B处有一艘走私船在A 处北偏西 75 方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里 /小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里 /小时的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获 (在 D 点 )走私船，则 CD 10 3t海里， BD 1
9、0t 海里，在 ABC 中，由余弦定理，有 =【 ;精品教育资源文库 】 = BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC ( 3 1)2 22 2( 3 1)2cos120 6， 解得 BC 6. 又 BCsin BAC ACsin ABC， sin ABC ACsin BACBC 2sin1206 22 ， ABC 45 ，故 B 点在 C 点的正东方向上， CBD 90 30 120 ， 在 BCD 中，由正弦定理，得 BDsin BCD CDsin CBD， sin BCD BDsin CBDCD 10tsin12010 3t 12. BCD 30 ， 缉私船沿北偏东 60 的方
10、向行驶 又在 BCD 中， CBD 120 ， BCD 30 ， D 30 ， BD BC，即 10t 6，解得 t 610小时 15 分钟 缉私船应沿北偏东 60 的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 B 级 知能提升 1 2018 天津模拟 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) A 10 2 海里 B 10 3 海里 C 20 3 海里 D 20 2
11、海里 答案 A 解析 如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正弦定理得 BCsin30 ABsin45 ，解得 BC 10 2(海里 ) 2.某观察站 B 在 A 城的南偏西 20 的方向，由 A 出发的一条公路的走向是南偏东 25.=【 ;精品教育资源文库 】 = 现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C 处有一人正沿此公路骑车以 40 km/h 的速度向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达 D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为 8 10 km，则此人到达 A城还需要 ( ) A 40 min B 42 min
12、C 48 min D 60 min 答案 C 解析 由题意可知， CD 40 1560 10. cos BDC 102 10 2 3022108 10 1010 ， cos ADB cos( BDC) 1010 ， sin ABD sin ( ADB BAD) 2 55 . 在 ABD 中，由正弦定理得 ADsin ABD BDsin BAD， AD2 55 8 1022， AD 32， 所需时间 t 3240 0.8 h， 此人还需要 0.8 h 即 48 min 到达 A 城 3.2014 全国卷 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从A 点测得 M 点的仰
13、角 MAN 60 ， C 点的仰角 CAB 45 以及 MAC 75 ；从 C 点测得 MCA 60 ，已知山高 BC 100 m，则山高 MN _m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 150 解析 在 Rt ABC 中， AC 100 2 m，在 MAC 中，由正弦定理得 MAsin60 ACsin45 ，解得 MA 100 3 m，在 Rt MNA 中， MN MAsin60 150 m. 即山高 MN 为 150 m. 4.如图所示， A， C 两岛之间有一片暗礁一艘小船于某日上午 8 时从 A 岛出发，以 10海里 /小时的速 度沿北偏东 75 方向直线航行，下午 1 时到达
14、B 处然后以同样的速度沿北偏东 15 方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛 (1)求 A， C 两岛之间的距离； (2)求 BAC 的正弦值 解 (1)在 ABC 中，由已知，得 AB 105 50(海里 )， BC 103 30(海里 )， ABC 180 75 15 120 ， 由余弦定理，得 AC2 502 302 25030cos120 4900，所以 AC 70(海里 ) 故 A， C 两岛之间的距离是 70 海里 (2)在 ABC 中，由正弦定理，得 BCsin BAC ACsin ABC， sin BAC BCsin ABCAC 30sin12070 3 314 .故 BAC 的正弦值是 3 314 . 5某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45 ，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 .
