1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 平面向量的概念及其线性运算 A组 基础题组 1.已知 O,A,B是同一平面内的三个点 ,直线 AB上有一点 C满足 2 + =0,则 =( ) A.2 - B.- +2 C. - D.- + 2.已知向量 a,b不共线 ,c=ka+b(kR),d=a -b.如果 cd, 那么 ( ) A.k=1且 c与 d同向 B.k=1且 c与 d反向 C.k=-1且 c与 d同向 D.k=-1且 c与 d反向 3.在四边形 ABCD中 , =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,则四边形 ABCD的形状是 ( ) A.矩形 B.平 行四边形 C.梯形 D.以
2、上都不对 4.若 | |=| |=| - |=2,则 | + |= . 5.(2015 北京 ,13,5分 )在 ABC 中 ,点 M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= . 6.已知 D,E,F分别为 ABC 的边 BC,CA,AB的中点 ,且 =a, =b,给出下列命题 : = a-b; =a+ b; =- a+ b; + + =0. 其中正确命题的个数为 . 7.如图 ,以向量 =a, =b为邻边作 ?OADB, = , = ,用 a,b表示 , , . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.已知 a,b不共线 , =a, =b, =c, =d, =e,设 tR,
3、如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t,使 C,D,E三点在同一条直线上 ?若存在 ,求出实数 t的值 ;若不存在 ,请说明理由 . B组 提升题组 9.已知点 O为 ABC 外接圆的圆心 ,且 + + =0,则 ABC 的内角 A等于 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 10.如图 ,| |=| |=1, 与 的夹角为 120, 与 的夹角为 30, 若 = + ( 、 R) ,则 等于 ( ) A. B. C. D.2 11.(2015北京朝阳期末 )点 O 在 ABC 的内部 ,且满足 +2 +4 =0,则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比是 ( )
4、 A. B.3 C. D.2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12.(2015北京丰台二模 )已知梯形 ABCD中 ,AD=DC=CB= AB,P 是 BC 边上一点 ,且 =x +y .当 P是 BC边的中点时 ,x+y= ;当 P在 BC边上运动时 ,x+y的最大值是 . 13.如图所示 ,在 ABC 中 ,D,F 分别是 BC,AC的中点 , = , =a, =b. (1)用 a,b表示向量 , , , , ; (2)求证 :B,E,F三点共线 . 14.已知 P为 ABC 内一点 ,且 3 +4 +5 =0,延长 AP交 BC于点 D,若 =a, =b,用 a、 b表示向量 、. =
5、【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.A 依题意 ,得 = + = +2 = +2( - ),所以 =2 - ,故选 A. 2.D cd,c=d(R), 即 ka+b=(a -b), k= -1,则 c=b-a, 故 c与 d反向 . 3.C 由已知 ,得 = + + =-8a-2b=2(-4a-b)=2 ,故 .又因为 与 不平行 ,所以四边形ABCD是梯形 . 4. 答案 2 解析 | |=| |=| - |=2, ABC 是边长为 2的正三角形 , | + |为 ABC 的边 BC 上的高的 2倍 ,| + |=2 . 5. 答案 ;- 解析 由 =2 知 M
6、为 AC 上靠近 C的三等分点 ,由 = 知 N为 BC的中点 ,作出草图如下 : 则有 = ( + ), 所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 x= ,y=- . 6. 答案 3 解析 =a, =b, = + =- a-b,故 错 ; = + =a+ b,故 正确 ; = ( + )= (-a+b)=- a+ b,故 正确 ; + + =-b- a+a+ b+ b- a=0,故 正确 . 正确命题为 . 7. 解析 = - =a-b, = = = a- b, = + = a+ b. =a+b, = + = + = = a+
7、 b, = - = a+ b- a- b = a- b. 综上 , = a+ b, = a+ b, = a- b. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8. 解析 存在 .理由 :由题设知 , =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数 k,使得 =k , 即 (t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得 (t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为 a,b不共线 ,所以有 解得 t= . 故存在实数 t= ,使 C,D,E三点在同一条直线上 . B组 提升题组 9.A 由 + + =0 得 , + = , 由 O 为 ABC 外接圆的
8、圆心 , 结合向量加法的几何意义知 , 四边形 OACB为菱形 ,且 CAO=60, 故 BAC=30. 10.D 过 C作 OB的平行线交 OA的 延长线于 D.由题意可知 ,COD=30,OCD=90,OD=2CD, 又由题意知 = , = ,| |=2| |,即 =2, 故 =2. 11.A 设 = , =2 , =4 ,则有 + + =0,所以 O为 ABC 的重心 ,由重心的性质知 ,SAOB =SAOC =SBOC ,设为 S,由 = , =2 ,知 SAOB = S. 同理 ,SAOC = S,SBOC = S. 而 SABC =SAOB +SAOC +SBOC = S, =【
9、;精品教育资源文库 】 = 所以 = = ,故选 A. 12. 答案 ; 解析 当 P是 BC 边的中点时 , 易知 = + , 所以 x+y= + = . 当 P在 BC边上运动时 , = + = + = +( - )=(1-) + =(1-) + = +(1-)=x +y , 所以 即 x+ =1, 所以 x+y=1+ ,又易知 y0,1, 所以当 y=1时 ,x+y取得最大值 ,最大值为 . 13. 解析 (1)延长 AD 到 G,使 = , 连接 BG,CG,得到平行四边形 ABGC,所以 =a+b. = = (a+b), = = (a+b), = = b, =【 ;精品教育资源文库 】 = = - = (a+b)-a= (b-2a), = - = b-a= (b-2a). (2)证明 :由 (1)可知 = , 又因为 , 有公共点 B, 所以 B,E,F三点共线 . 14. 解析 = - = -a, = - = -b,3 +4 +5 =0, 3 +4( -a)+5( -b)=0, = a+ b. 设 =t (tR), 则 = ta+ tb. 又设 =k (kR), 由 = - =b-a,得 =k(b-a). 而 = + =a+ , =a+k(b-a)=(1-k)a+kb. 由 得 解得 t= . 代入 得 = a+ b. = a+ b, = a+ b.
