1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.1 导 数 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.导数的概念及其几何意义 1.了解导数概念的实际背景 . 2.理解导数的几何意义 . 理解 22(1),4分 8(文 ),5分 21(文 ), 约 6分 03(2) (自选 ), 5分 2.导数的运算 会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数 ,并能求简单的复合函数的导数 . 掌握 22(1),2分 22(2),2分 21(文 ), 约 3分 22(1),7分 21(文 ), 约 2分 03(2) (自选 ), 约 2分 2
2、0(1), 约 6分 分析解读 1.导数是高考中的重要内容 .导数的运算是高考命题的热点 ,是每年的必考内容 . 2.本节主要考查导数的运算 ,导数的几何意义 ,考查函数与其导函 数图象之间的关系 . 3.预计 2019年高考中 ,导数运算的考查必不可少 ,同时要注意对切线的考查 ,复习时应引起高度重视 . 五年高考 考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2016山东 ,10,5分 )若函数 y=f(x)的图象上存在两点 ,使得函数的图象在 这两点处的切线互相垂直 ,则称y=f(x)具有 T性质 .下列函数中具有 T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=
3、x3 答案 A 2.(2014课标 ,8,5 分 )设曲线 y=ax-ln(x+1)在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 3.(2017课标全国 文 ,14,5 分 )曲线 y=x2+ 在点 (1,2)处的切线方程为 . 答案 x-y+1=0 4.(2017天津文 ,10,5分 )已知 aR, 设函数 f(x)=ax-ln x的图象在点 (1, f(1)处的切线为 l,则 l在 y轴上的截距为 . 答案 1 5.(2016课标全国 ,15,5 分 )已知 f(x)为偶函数 ,当 x0,f(x1)-f(x2)=4(1-a) 0. 从而
4、 f(x1)|f(x2)|. 所以 |f(x)|max=maxf(0),|f(2)|,f(x1). 当 0|f(2)|. 又 f(x1)-f(0)=2(1-a) -(2-3a)= 0, 故 |f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a) . 当 a|f(2)|. 故 f(x)max=f(x1)=1+2(1-a) . =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a1,求 f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值 . 解析 (1)当 a=1时 , f (x)=6x2-12x+6,所以 f (2)=6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y=6x-8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间 0,2
5、|a|上的最小值 . f (x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f (x)=0,得到 x1=1,x2=a. 当 a1时 , x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f (x) + 0 - 0 + f(x) 0 单调递增 极大值 3a-1 单调递减 极小值 a2(3-a) 单调递增 4a3 比较 f(0)=0和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)= 当 a0时 ,h(x)0; 当 x0,g(x)单调递增 ; 当 x(a,0) 时 ,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增 . 所以当 x=a时 g(x)取到极大值 ,极大值是
6、g(a)=- a3-sin a, 当 x=0时 g(x)取到极小值 ,极小值是 g(0)=-a. (2)当 a=0时 ,g(x)=x(x-sin x), 当 x( -,+) 时 ,g(x)0,g(x) 单调递增 ; 所以 g(x)在 (-,+) 上单调递增 ,g(x)无极大值也无极小值 . (3)当 a0时 ,g(x)=(x-a)(x-sin x), 当 x( -,0) 时 ,x-a0,g(x)单调递增 ; 当 x(0,a) 时 ,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增 . 所以当 x=0时 g(x)取到极大值 ,极大值是 g(0)=-a; 当 x=a时 g(x)取到极小值 ,极小值是 g(a
7、)=- a3-sin a. 综上所述 : =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0时 ,函数 g(x)在 (-,0) 和 (a,+) 上单调递增 ,在 (0,a)上单调递减 ,函数既有极大值 ,又有极小值 ,极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=- a3-sin a. 教师用书专用 (13 19) 13.(2015陕西 ,15,5分 )设曲线 y=ex在点 (0,1)处的切线与曲线 y= (x0)上点 P处的切线垂直 ,则 P的坐标为 . 答案 (1,1) 14.(2015课标 ,16,5 分 )已知曲线 y=x+ln x在点 (1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1相
8、切 ,则a= . 答案 8 15.(2014广东 ,10,5分 )曲线 y=e-5x+2在点 (0,3)处的切线方程为 . 答案 5x+y-3=0 16.(2017山东 ,20,13分 )已知函数 f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中 e=2.718 28? 是自然对数的底数 . (1)求曲线 y=f(x)在点 (, f() 处的切线方程 ; (2)令 h(x)=g(x)-af(x)(aR), 讨论 h(x)的单调性并判断有无极值 ,有极值时求出极值 . 解析 本题考查导数的几何意义和极值 . (1)由题意知 ,f()= 2-2, 又 f (x
9、)=2x-2sin x, 所以 f ()=2, 因此曲线 y=f(x)在点 (, f() 处的切线方程为 y-( 2-2)=2(x -), 即 y=2x - 2-2. (2)由题意得 h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x), 因为 h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x) =2ex(x-sin x)-2a(x-sin x) =2(ex-a)(x-sin x), 令 m(x)=x-sin x,则 m(x)=1-cos x0, 所以 m(x)在 R上单调递增 . 因为 m(0)=0, 所
10、以当 x0时 ,m(x)0;当 x0, 当 x0时 ,h(x)0,h(x)单调递增 , 所以当 x=0时 h(x)取到极小值 ,极小值是 h(0)=-2a-1; (ii)当 a0时 ,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x), 由 h(x)=0得 x1=ln a,x2=0. 当 00,h(x)单调递增 ; 当 x( ln a,0)时 ,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增 . 所以当 x=ln a时 h(x)取到极大值 , 极大值为 h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2, 当 x=0时 h(x)取到极小值
11、,极小值是 h(0)=-2a-1; 当 a=1时 ,ln a=0, 所以当 x( -,+) 时 ,h(x)0, 函数 h(x)在 (-,+) 上单调递增 ,无极值 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a1时 ,ln a0, 所以当 x( -,0) 时 ,ex-eln a0,h(x)单调递 增 ; 当 x(0,ln a) 时 ,ex-eln a0,h(x)0,h(x)单调递增 . 所以当 x=0时 h(x)取到极大值 ,极大值是 h(0)=-2a-1; 当 x=ln a时 h(x)取到极小值 , 极小值是 h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a
12、)+2. 综上所述 : 当 a0 时 ,h(x)在 (-,0) 上单调递减 ,在 (0,+) 上单调递增 ,函数 h(x)有极小值 ,极小值是 h(0)=-2a-1; 当 01时 ,函数 h(x)在 (-,0) 和 (ln a,+) 上单调递增 , 在 (0,ln a)上单调递减 ,函数 h(x)有极大值 ,也有极小值 , 极大值是 h(0)=-2a-1, 极小值是 h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2. 17.(2013湖南 ,22,13分 )已知 a0,函数 f(x)= . (1)记 f(x)在区间 0,4上的最大值为 g(a),求 g
13、(a)的表达式 ; (2)是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间 (0,4)内的图象上存在两点 ,在该两点处的切线互相垂直 ?若存在 ,求 a的取值范围 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 (1)当 0xa 时 ,f(x)= ;当 xa时 ,f(x)= .因此 ,当 x(0,a) 时 ,f (x)= 0,f(x)在 (a,+) 上单调递增 . 若 a4, 则 f(x)在 (0,4)上单调递减 ,g(a)=f(0)= . 若 0 = = . 所以 Tn ? = . 综上可得对任意的 nN *,均有 Tn . 19.(2013北京 ,18,13分 )设 L为曲线 C:y= 在点 (1,0)处的切
14、线 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 L的方程 ; (2)证明 :除切点 (1,0)之外 ,曲线 C在直线 L的下方 . 解析 (1)设 f(x)= ,则 f (x)= . 所以 f (1)=1. 所以 L的方程为 y=x-1. (2)证明 :令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外 ,曲线 C在直线 L的下方等价于 g(x)0(? x0,x1).g(x) 满足g(1)=0,且 g(x)=1-f (x)= . 当 01时 ,x2-10,ln x0,所以 g(x)0,故 g(x)单调递增 . 所以 ,g(x)g(1)=0(? x0,x1). 所以除切点之外 ,曲线 C在直线 L
15、的下方 . 考点二 导数的 运算 1.(2014大纲全国 ,7,5分 )曲线 y=xex-1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ( ) A.2e B.e C.2 D.1 答案 C 2.(2013江西 ,13,5分 )设函数 f(x)在 (0,+) 内可导 ,且 f(ex)=x+ex,则 f (1)= . 答案 2 3.(2017浙江 ,20,15分 )已知函数 f(x)=(x- )e-x . (1)求 f(x)的导函数 ; (2)求 f(x)在区间 上的取值范围 . 解析 本题主要考查函数的最大 (小 )值 ,导数的运算及其应用 ,同时考查分析问题和解决问题的能力 . (1)因为 (x- )=1
16、- ,(e-x)=-e-x, 所以 f (x)= e-x-(x- )e-x = . (2)由 f (x)= =0,解得 x=1或 x= . 因为 x 1 f (x) - 0 + 0 - f(x) 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 f(x)= ( -1)2e-x0, 所以 f(x)在区间 上的取值范围是 . 4.(2016北京 ,18,13分 )设函数 f(x)=xea-x+bx,曲线 y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4. (1)求 a,b的值 ; (2)求 f(x)的单调区间 . 解析 (1)因为 f(x)=xea-x+bx,所以 f (x)=(1-x
17、)ea-x+b. 依题设 ,知 即 解得 a=2,b=e. (2)由 (1)知 f(x)=xe2-x+ex. 由 f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0知 ,f (x)与 1-x+ex-1同号 . 令 g(x)=1-x+ex-1,则 g(x)=-1+ex-1. 所以 ,当 x( -,1) 时 ,g(x)0,g(x)在区 间 (1,+) 上单调递增 . 故 g(1)=1是 g(x)在区间 (-,+) 上的最小值 , 从而 g(x)0,x( -,+). 综上可知 ,f (x)0,x( -,+). 故 f(x)的单调递增区间为 (-,+). 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟
18、 基础题组 考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2018浙江镇海中学 12 月测试 ,2)已知直线 y=x+1与曲线 y=ln(x+a)相切 ,则 a的值为 ( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 答案 A 2.(2017浙江测试卷 ,4)已知直线 y=ax是曲线 y=ln x的切线 ,则实数 a=( ) A. B. C. D. 答案 C 3.(2017浙江衢州质量检测 (1月 ),14)已知函数 f(x)=x3+2ax2+1在 x=1处的切线的斜率为 1,则实数 a= ,此时函数 y=f(x)在 0,1最小值为 . 答案 - ; 4.(2017浙江台州质量评估 ,20)已知函数 f(x)=x3+|x-a|(aR). (1)当 a=1时 ,求 f(x)在 (0,f(0)处的切线方程 ; (2)当 a(0,1) 时 ,求 f(x)在区间 -1,1上的最小值 (用 a表示 ). 解析 (1) 当 a=1,x0,知 f(x)在 (a,1)上是单调递增的 . 当 -1xa 时 ,f (x)=3x2-1,
