1、 8.3 直线、平面平行的判定和性质 高考数学 考点 平行的判定和性质 一、线面、面面平行的判定 1.直线与平面的位置关系 知识清单 位置关系 公共点个数 直线在平面内 直线上所有点都在平面内 直线在 平面外 直线和平面相交 直线与平面 有且仅有一个 公共点 直线和平面 平行 直线与平面没有公共点 2.直线和平面平行 (1)定义 :直线 l与平面 没有 公共点 ,则称直线 l与平面 平行 ,记作 l . (2)判定定理 :如果 平面外 的一条直线和这个平面内的一条直线 平行 ,那么这条直线和这个平面平行 (简记为“线线平行 ?线面平行” ). 3.两个平面平行 (1)定义 : 没有 公共点的两
2、个平面叫做平行平面 .符号表示 :平面 、平面 ,若 =?,则 . (2)判定定理 (文字语言、图形语言、符号语言 ) 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 1 如果一个平面内有两条相交的直 线都平行于另一个平面 ,那么这 两个平面平行 (简记为“线面平 行 ?面面平行” ) a?,b?,a b=P, a ,b ? 判定定理 2 如果两个平面同垂直于一条直 线 ,那么这两个平面平行 ? 判定定理 3 平行于同一个平面的两个平面平 行 ? ll ?二、线面、面面平行的性质 1.直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 , 经过这条直线 的平面和这个平面 相交 ,那么这条直线就和 交
3、线平行 (简记为“线面平行 ?线线平 行” ). 2.两平面平行的性质定理 (文字语言、图形语言、符号语言 ) 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 1 如果两个平面平行 ,那么在一个 平面内的所有直线都平行于另一 个平面 且 a? ?a 性质定理 2 如果两个平行平面同时和第三个 平面相交 ,那么它们的交线平行 (简记为“面面平行 ?线线平 行” ) 且 =a 且 =b?a b 性质定理 3 如果两个平行平面中有一个垂直 于一条直线 ,那么另一个平面也 垂直于这条直线 且 l ?l 线面、面面平行的判定的解题策略 1.线面平行的判定方法 :(1)定义法 :证明直线与平面没有公共点 ,通常要
4、 借助于反证法来证明 . (2)判定定理法 :在平面内找到一条直线与已知直线平行 . (3)利用面面平行的性质定理证明直线为一平面与两平行平面的一条交 线 . (4)向量法 :证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 ;或证明直线的方 向向量能被平面上的两个不共线向量线性表示 . 2.面面平行的判定方法 :(1)定义法 :证明直线与平面没有公共点 ,通常要 借助于反证法来证明 . (2)判定定理法 :证明一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面 . 方法技巧 方法 1 (3)转化为证明线线平行 :证明一个平面内的两条相交直线与另一个平 面内的两条相交直线平行 . (4)利用平行平面的传递性 :若
5、, ,则 . (5)向量法 :证明两平面的法向量共线 . 例 1 (2016课标全国 ,19,12分 )如图 ,四棱锥 P-ABCD中 ,PA 底面 ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段 AD上一点 ,AM=2MD,N为 PC的中点 . (1)证明 MN 平面 PAB; (2)求直线 AN与平面 PMN所成角的正弦值 . 解题导引 (1)设 PB的中点为 T 利用中位线性质得四边形 AMNT为平行四边形 利用线面平行的判定定理得线面平行 (2)建立空间直角坐标系 计算平面 PMN的法向量 利用向量的数量积 得线面角的正弦值 解析 (1)由已知得 AM= AD=2. 取 BP的中点 T,连接 AT,TN,由 N为 PC中点知 TN BC,TN= BC=2. (3分 ) 又 AD BC,故 TN? AM,故四边形 AMNT为平行四边形 ,于是 MN AT. 因为 AT?平面 PAB,MN?平面 PAB,所以 MN 平面 PAB. (6分 ) 2312
