1、2021-2022人教A版（2019）高二数学选修一第一章章末测试题一、单选题（共8小题）1若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）A2BCD102已知、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、一定共面的是（ ）ABCD3如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，则（ ）ABCD4已知空间向量，满足|=|=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则OAB的面积为（ ）ABCD5对空间中两条不相交的直线和，必定存在平面，使得 （ ）ABCD6如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点在平面内，且，则点的坐标为
2、（ ）A B C D7如图，在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD8在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ）ABCD二、多选题（共4小题）9正三棱柱中，则（ ）A与底面的成角的正弦值为B与底面的成角的正弦值为 C与侧面的成角的正弦值为D与侧面的成角的正弦值为10在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）ABCD11已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ）ABCD12如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面
3、，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（ ）A若平面，则为的中点B若为的中点，则三棱锥的体积为C锐二面角的大小为D若，则直线与平面所成角的余弦值为三、填空题（共4小题）13空间四边形中，分别是边的中点，且，则_.14已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为_15已知三棱锥中，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_.16如图，在正四棱锥中，为的中点，. 已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则_.四、解答题（共5大
4、题）17如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明：（1）E，F，G，H四点共面;（2）BD/平面EFGH18如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点（1）求；（2）求EG的长19在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点（1）用向量表示，；（2）若，求实数x，y，z的值20如图，平面平面，为上一点，且平面.（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角为，求.21如图，在三棱柱中，面ABC，E为BC的中点，F为的中点，（1）求证平面 ；（2）求
5、证平面；（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的大小是，若存在，求出AP的长若不存在，请说明理由参考答案1A【详解】的方向向量与平面的法向量共线.，即，解得，故选A项.2B若，且，则，则，即，所以，点、共面.对于A选项，A选项中的点、不共面；对于B选项，B选项中的点、共面；对于C选项，C选项中的点、不共面；对于D选项，D选项中的点、不共面.故选：B.3A解: ,故选:A4B|=，|=，则cosAOB=，从而有sinAOB=，OAB的面积S=，故选：B5C【详解】和是异面直线时，选项A、B不成立，排除A、B；和平行时，选项D不成立，排除D,故选C.6B【详解】过点作，垂足为，在中，得、，所以，所以
6、，所以点的坐标为，故选：B7D【详解】由题意可得，以为坐标原点，向量，方向分别为、轴建立空间直角坐标系，则，所以，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.8C【详解】解：以为坐标原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可设，由， ，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，可得，由，可得，则，当时，线段长度的最小值为故选：9BC【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设，则.底面的其中一个法向量为，与底面的成角的正弦值为，错对的中点的坐标为,侧面的其中一个法向量为，与侧面的成角的正弦值为：，故对错；故选：BC10A
7、BD【详解】分别是的中点，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD.11AC【详解】，若且，则，解得或，所以或.故选：AC12ABD【详解】解：对于，连接，当平面，根据线面平行的性质可得，从而得到为的中点故正确；为的中点，取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，由面面垂直性质可得底面，所以正确连接，因为底面，又平面，所以，在中，取中点，连接，为锐二面角的平面角，在中，由余弦定理可得，所以，故错误对于，建立空间直角坐标系，则，0，2，2，0，0，因为，所以，设平面 的法向量，则，即，取，解得，所以，故正确故选：13【详解】点，分别为四边形的边，的中点，、分别为、的中位
8、线；，下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.所以故答案为：2014x=，y=，z=【详解】=+=+=+=x=，y=，z=故答案为：x=，y=，z=15【详解】因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作PzPC，则Pz平面PAC以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图：因，则有，设，则的中点，连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且，而,，则，即，因，即，则，即，所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)，而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交，所以故答案为：16【详解】连接
9、、交于点，则，因为四棱锥为正四棱锥，故底面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设，其中，则，由已知可得，整理可得，因为，解得，即.故答案为：17（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则=+=+(+)=+=+，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面（2）因为=-=-=(-)=，且E，H，B，D四点不共线，所以EHBD又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH18（1）；（2）【分析】设=，=，=，（1）将和化为可求出结果；（2）将化为+可求出结果.【详解】设=，=，=，则，（1）=，（2）=+=+(-)
10、+(-)=+=+，所以，即EG的长为19（1），；（2）【详解】解：（1）,（2）所以20（1）证明见详解；（2）【详解】平面，又平面平面，且平面平面，所以平面，又，平面.（2）因为平面，又,所以 如图所示，过作垂直，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴，建立空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则，即，不妨取，解得，所以，显然平面的一个法向量为，解得，故的长为21（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，.【详解】（1）证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，即，BC、平面，平面（2）证明：取的中点，则，由（1）可知，即，平面，平面，平面（3）解：设，平面的法向量，取，得，又是平面的法向量，二面角的大小是，解得，在棱上存在点P，使得二面角的大小为，此时
