1、大兴区20202021学年度第一学期期末检测试卷 高二数学本试卷共页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在平面直角坐标系中，斜率为的直线倾斜角为（A） （B） （C） （D）（2）已知数列满足，则的值为（A） （B）（C） （D）（3）经过点且与直线垂直的直线方程为（A） （B） （C） （D）（4）某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是，则他至少投中一次的概率为
2、（A） （B） （C） （D）（5）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（A） （B） （C） （D）（6）已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为（A） （B） （C） （D）（7）我国古代数学名著九章算术中有如下 “两鼠穿墙”问题:有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺,则两鼠穿透此墙至少在第 （A）天 （B）天 （C）天 （D）天（8）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，直线交轴于点若为线段的中点，则（A） （B） （C） （D）（9）已知椭圆的左、右顶点分
3、别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）（10）已知数列的前项和，若恒成立，则实数的最大值是（A） （B） （C） （D）第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）双曲线的渐近线方程为 （12）已知入射光线经过点被轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为_（13）已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为 （只需写出一组）（14）如图，在四面体中，其棱长均为，分别为，的中点若，则_；直线和的夹角为_（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续次正面的概率. 给出下列四个结论：；
4、 ； 当时，； 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）从名男生（记为和）和名女生（记为，和）组成的总体中，任意依次抽取名学生（）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；（）在（）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的人为名男生和名女生的概率（17）（本小题14分）已知前项和为的数列中，.（）若是等比数列，求的通项公式； （）若是等差数列，求的最大值（18）（本小题14分）如图，在长方体中， 为的中点（）证明：； （）求点到平面的距离；（）求平面与平面夹角的余弦值（19）（本小题14分）已知直线与直
5、线，.（）若，求的值；（）求证：直线与圆恒有公共点；（）若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，求的值（20）（本小题14分）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点. （）求直线与平面所成角的正弦值；（）设是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论（21）（本小题15分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，焦距是. （）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于两个不同点，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；（）设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除，外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值大兴区20202021学年度第
6、一学期期末检测高二数学参考答案及评分标准一、 选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案BACDABBBDC二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13）（答案不唯一） （14）； （15） 注：（14）题第一问3分，第二问2分.（15）题答案不全3分，有错0分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点 .根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间 4分不放回简单随机抽样的样本空间 7分（）设事件“抽到名男生和名女生”，则对于有放回简单随机抽样， 2
7、分因为抽中样本空间中每一个样本的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此； 4分对于不放回简单随机抽样，因为抽中样本空间中每一个样本的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此. 7分（17）（共14分）解：（）设等比数列公比为，因为， 所以 2分 所以，解得或 5分所以，当时， 当时， 7分（）设等差数列公差为， 因为， 1分 所以，解得 2分所以，是递减数列. 3分又由， 4分可知：当时，；当时，；当时， 5分 所以. 6分 所以，当或时，有最大值为. 7分（18）（共14分）解：在长方体中，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 1分（）因为， 2分又由，
8、 3分所以 ，即 4分 （）因为， 1分 设为平面的法向量，则，. 所以 2分 令，则， 所以为平面的一个法向量. 3分 又因为， ， 所以点到平面的距离为. 5分（）因为长方体中，易证，又由（）得，所以平面.所以是平面的一个法向量. 2分设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5分（19）（共14分）解：（）由直线方程得斜率. 1分因为，所以斜率. 2分所以，解得 . 4分 （）因为圆的圆心为，半径为，1分所以圆心到直线的距离. 2分又因为，所以，即. 4分所以直线与圆相交或相切，即恒有公共点. 5分 （）由圆：得，圆心，半径为.1分因为与圆相交于，两点，且是直角三角形，
9、所以. 3分所以圆心到直线的距离， 4分解得. 5分（20）（共14分）解：取中点，连接. 由已知易证，. 由，得，所以. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 1分（）因为， 2分 设为平面的法向量，则，. 所以 4分 令，则， 所以为平面的一个法向量. 5分 设直线与平面所成角为.又因为， 6分所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8分（）点在平面内. 1分因为为中点，所以，. 3分 又因为， 所以点在平面内. 6分（21）（共15分）解：（）已知，则.椭圆的方程为 4分 （）设，由，得， 2分 当时，则， 3分 又坐标原点在以线段为直径的圆上，则，即， 4分即， 则，即或，满足， 所以或. 6分（）线段的长是. 1分设，由（）得点，又点是线段的中点，则点， 直线的斜率为，直线的斜率为 ， 又，则直线的方程为，2分又直线的方程为， 3分联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，即点的横坐标为， 4分则. 故线段的长为定值. 5分
