1、寒假作业8 数学选择性必修第一册（人教A版（2019）新高考）全册综合提升卷一、单选题1直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）ABCD2如图，空间四边形OABC中，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）ABCD3已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（ ）A3B4C6D84已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为，则（ ）.A平面平面ABCB平面平面ABCC平面平面ABC相交但不垂直D以上均不可能5若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别是（ ）A，B，4C，D，46如图，已知双曲线的右焦点为F，点P，Q分别在C的两条渐近线上，且
2、P在第一象限，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为（ ）AB2C4D7如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1平面AEC，则二面角E-AC-B的正切值为（ ）AB-CD-8已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD2二、多选题9已知直线与圆相切，则实数的值可能为（ ）A-18B8C-8D1810已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）A椭圆C的方程为B椭圆C的方程为CD的
3、周长为11如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）ABCD12抛物线的焦点为，点都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）A抛物线方程为B是的重心CD三、填空题13在单位正方体中，分别为的中点，则_.14已知：与：相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且，则的方程为_15已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，点P为椭圆的上顶点，若的面积为1，则右焦点的坐标为_.16已知矩形中，E，F为垂足.将矩形沿对角线折起，得到二面角，若二面角的大小为，则_.四、解答题17已知直线；
4、.（1）若，求的值；（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值18如图，已知平面，底面为矩形，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值191.已知圆：与圆：外切.（1）求实数a的值；（2）若直线与圆交于A，B两点，求弦AB的长.20已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，求直线l的方程21如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PD底面ABCD，PD=DA=DB，PBBC，E为PB中点，F为PC上一点，且PC=3PF.（1）求证：PCDE；（2）求平面DEF与平面ABCD夹角的
5、余弦值.22已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q.（i）求的取值范围；（ii）若的垂直平分线交y轴于点，求直线的斜率.参考答案1B【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求直线的倾斜角.【详解】设直线倾斜角为，则，又，.故选：B.2B【分析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B3D【分析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，即，如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为 故选：D.4A【分析】求出平面的法向量，利用向量关系即可判断.【详解】设平面的
6、法向量为，则，即，令，可得，所以，因为，所以平面平面.故选：A.5D【分析】先利用平面几何知识得到与垂直，且直线过圆心，再列方程进行求解.【详解】由题意得与垂直，且直线过圆心，所以，解得.故选：D.6B【分析】设，得到，根据，求得的坐标，根据，列出方程，求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】由题意，可设，则，因为，且，可得，即，所以，又，所以，即，则，所以C的离心率.故选B.7B【分析】连接BD交AC于点F，连接EF，由二面角的平面角的定义得到EFD为二面角EACD的平面角，然后在三角形中利用边角关系分析求解即可【详解】解：连接BD交AC于点F，连接EF，由题意可知，BD1EF，因为F为BD的
7、中点，所以E为DD1的中点，又AC平面BDD1B1，则EFD为二面角EACD的平面角，设ADa，则EDa，DF，在RtEFD中，sinEFD，又二面角EACB与二面角EACD互补，所以二面角EACB的正切值为故选：.8D【分析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，最后求出答案.【详解】由，由双曲线的定义知，设，易得，如图，作，M为垂足，则，故选：D.9AB【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为.由于直线与圆相切，所以或.故选：AB10AC【分析】AB选项，根据短轴长，离心率和求出，焦点在y轴上，所以求出椭圆方程；C选
8、项，求出P，Q两点的横坐标，进而得到通径长；D选项利用椭圆的定义进行求解.【详解】由题意得：，所以，因为，解得：，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误.故选：AC11ABC【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断【详解】在等边中，所以，则，则.故选：ABC12ABD【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得是的重心，利用抛物线的定义可得，利用三角形面积公式及，可得.【详解】对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程
9、为，正确；对于B，分别取的中点，则，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；对于C，由抛物线的定义可得，所以.由是的重心，所以，即，所以，不正确；对于D，；同理,，所以，正确.故选：ABD.13#【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算.【详解】正方体的棱长为，建立如图所示空间直角坐标系，则，.故答案为：14【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解【详解】由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O、，则在中，斜边上的高为，由三角形等面积法可得：，由勾股定理可得：，由以上两式可
10、解得：，可得圆的方程为：故答案为：.15【分析】直接根据条件列关于的方程组求解即可.【详解】由已知，解得，故右焦点的坐标为.故答案为：16【分析】先通过向量的加法将用已知条件相关的向量即表示出来，平方后就会发现展开式的所有项都能求出答案，即可求解即的值.【详解】因为，所以，所以，即.故答案为：.17（1）；（2）或.【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值【详解】解：（1）设直线的斜率分别为，则若，则，（2）若，则， 可以化简为，又直线与直线的距离，或，综上：.18（1）证明见解析；（2）【分析
11、】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，从而得，进而可证明平面；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的平面向量，求出平面的法向量，由向量的夹角公式代入求解.（1）取的中点，连接，分别为，的中点，且，又为的中点，底面为矩形，且，且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，故，设平面的法向量，则，得，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.19（1）12（2）2【分析】（1）两圆外切，进而圆心距等于半径和，最后解得答案；（2）算出圆心到直线的距离，进而借助勾股定理求得答案.（1）圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径；
12、因为圆与圆相外切，所以，即，解得a=12.（2）由（1）可知，圆：，圆心，半径.所以圆心到直线的距离，即，故弦AB的长为2.20（1）（2）或【分析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.（1）抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得 (舍去)，所以抛物线的方程为.（2）由（1）得，设直线的方程为，由，得.因为，故所以.由题设知，解得或，因此直线方程为或.21（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明平面，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间
13、直角坐标系，证明即得证；（2）利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值.（1）解：因为底面，所以，又，因为为平面内的两条相交直线，所以平面.以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由已知，可得，0），所以，故，所以；.（2）解：因为，设平面的法向量为，由得令，则，所以为平面的一个法向量，又底面，所以为平面的一个法向量，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值.22（1）；（2）（i）；（ii）或.【分析】(1)设出椭圆C的半焦距，根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得.(2)设出直线的方程，与椭圆C的方程联立，求出弦PQ长即可计算得解；求出PQ中点M的坐标，借助向量垂直列式计算作答.（1）设椭圆C的半焦距为c，因离心率为，则，由椭圆性质知，椭圆短轴的端点到直线的距离最大，则有，于是得，又，联立解得，所以椭圆C的方程为.（2）由(1)知，点，而直线不垂直于y轴，设直线的方程为，由消去x并整理得：，设，则，(i)，显然，则，所以的取值范围为.(ii)设线段的中点为，则，即，因的垂直平分线交y轴于点，则，否则，与重合，此时点T与原点重合，由得：，整理得：，解得或，所以直线的斜率为或.
