1、合肥八中2020级高二上数学期末模拟考试时间：120 分钟满分：150 分一一、单单选选题题：本本大大题题共共 8 8 小小题题，每每个个小小题题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分. .在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的. .1设nS为等差数列na的前n项和，若4512aa，则8S的值为（）A14B28C36D48【答案】D【分析】利用等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质即可求出.【详解】因为nS为等差数列 na的前n项和，所以18818842aaSaa45448aa故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式的计算以及等差
2、数列性质的应用，属于较易题.2已知抛物线22(0)ypx p上一点(1,)(0)Mm m 到其焦点的距离为5，则实数m的值是（）A-4B2C4D8【答案】C【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离解出p，再将点M的坐标代入抛物线方程即可解得.【详解】抛物线的准线方程为：2px ，因为M到焦点距离为5，所以M到准线的距离152p，即p=8，则抛物线方程为216yx.将(1,m)代入得：216m ，因为0,m 所以4m .故选：C.3已知过点(2,2)P的直线与圆22(1)5xy相切，且与直线10axy 垂直，则a （）A12B12C2D2【答案】B【分析】首先由点
3、P的坐标满足圆的方程来确定点P在圆上，然后求出过点P的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆22(1)5xy的圆心(0,1)C，半径5r .因为222(2 1)5 ，所以点(2,2)P在圆C上，所以过点P的圆C的切线l与直线PC垂直，设切线l的斜率k，则有1PCk k ，即2 1120k ，解得2k .因为直线10axy 与切线l垂直，所以1k a ，解得12a .故选：B.4已知空间向量(2, 1,2)a ，(1, 2,1)b ，则向量b在向量a上的投影向量是（）A42 4( , )33 3B(2, 1,2)C24 2( , )33 3D(1, 2,1)【
4、答案】A【分析】由向量b在向量a上的投影向量为|cos,|aba ba，计算即可求出答案【详解】解：向量(2, 1,2)a ，(1, 2,1)b 则222|2213a ，222|1126b ， 2 1121 26a b ，所以向量b在向量a上的投影向量为2, 1,2642 4cos,6,333 336aa baba bbaaa b故选：A5已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且2 PMMC，PNND， NMxAByADzAP，则xyz（）A23B23C1D56【答案】B【分析】由2 PMMC，PNND，得21,32PMPC PNPD ，然
5、后利用向量的加减法法则把向量NM 用向量,AB AD AP 表示出来，可求出, ,x y z的值，从而可得答案【详解】解：因为2 PMMC，PNND，所以21,32PMPC PNPD 所以2132NMPMPNPCPD 21()()32ACAPADAP 211()322ABADAPADAP 211366ABADAP ,因为 NMxAByADzAP，所以211,366xyz ，所以23xyz，故选：B6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起
6、脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192里B96里C48里D24里【答案】B【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列 na，由题意和等比数列的求和公式可得61112378112a，解得1192a ，第此人第二天走1192962里.故选：B7已知椭圆2212:11xCymm与双曲线2222:10 xCynn的焦点重合，1e、2e分别为1C、2C的离心率，则（）Amn且1 21e e Bmn且1 11ee Cmn且1 21e e Dmn且1 21e e 【答案】A【分析】根
7、据椭圆1C和双曲线2C的焦点重合得出222mn，可得出m、n的大小，再由离心率公式可得出1 2e e与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C和双曲线2C的焦点重合，则2211mn ，则2220mn，1m ，0n ，mn.212111memm，222111nenn，221 222222222221111111111111mne emnnmm nm nm n，故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题.8已知函数( )f x是定义在(,0)(0,)上的奇函数，( )fx是( )f x的导函数，且( 1
8、)0f ，当0 x 时( )( )0 xfxf x，则使得( )0f x 成立的x的取值范围是（）A(, 1)(0,1) B( 1,0)(1,+ )C(, 1)(1,+ ) D( 1,0)(0,1)【答案】B【分析】构造函数( )( )F xxf x，根据题意可得( )F x的奇偶性与单调性，结合( )F x的图象即可求解【详解】解：由题意可知，函数( )f x是奇函数，令函数( )( )F xxf x，则函数( )F x为偶函数，又当0 x 时，( )( )( )0F xxfxf x，所以函数( )( )F xxf x在(0,)上单调递减，根据对称性可知，函数( )( )F xxf x在(,
9、0)上单调递增，又( 1)0f ，所以 1f( 1)0f ，所以 1F0，函数( )F x的大致图象如图所示：数形结合可知，使得( )0f x 成立的x的取值范围是( 1，0)(1，)故选：B【点睛】本题考查函数的性质、导数的应用，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于中档题二二、多选多选题：本大题共题：本大题共 4 4 小题，每个小题小题，每个小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，只有一项在每小题给出的选项中，只有一项或或者多项者多项是符合题目要求的是符合题目要求的. .9下列命题中正确的是（）A双曲线221xy与直线20 xy有且只有一个公共点B平面内
10、满足20PAPBa a的动点P的轨迹为双曲线C若方程22141xytt表示焦点在y轴上的双曲线，则4t D过给定圆上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆【答案】AC【分析】A解方程组判断，B根据双曲线定义极限状态判断，C根据双曲线定义判断，D求出动点轨迹方程，用反证法判断【详解】解：对于A，解方程组22120 xyxy，得唯一解5434xy，所以曲线221xy与直线20 xy有且只有一个公共点，所以A对；对于B，当| 2ABa时，满足| 2PAPBa的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；对于C，若方程22141xytt表示焦点在y轴上的双曲线，40t 且104tt ，
11、所以C对；对于D，举反例，不妨设圆的方程为222xyR，定点( ,0)A R，动点( , )P x y，则(2,20)BxRy在圆上，222(2)(20)xRyR在，222()()22RRxy，点P轨迹是圆，而不是椭圆，所以D错故选：AC10 （2021山东省五莲中学高二期末） 已知数列 na的前n项和为nS且满足1302nnnaS Sn，113a ，则下列命题中正确的是（）A1nS是等差数列B13nSnC131nan n D3nS是等比数列【答案】ABD【分析】由1(2)nnnaSSn代入1302nnnaS Sn得出nS的递推关系，得证1nS是等差数列，可判断A，求出nS后，可判断B，由1a
12、的值可判断C，求出3nS后可判断D【详解】因为12nnnaSSn，1302nnnaS Sn，所以1130nnnnSSS S，所以1113nnSS，所以1nS是公差为3的等差数列，A正确；因为11113Sa，所以13313nnnS，13nSn，B正确；2n时，由1nnnaSS，得131nan n ，但113a 不满足此式，因此C错误；由13nSn得13113 33nnnS，所以3nS是等比数列，D正确故选：ABD11如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A，1B，2B为椭圆的顶点，F为右焦点，延长2B F与1AB交于点P，若12BPB为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）A23B12C13D14
13、【答案】BCD【分析】设出A，1B，2B的坐标，12BPB为向量1AB 与2FB 的夹角，然后利用向量的数量积的性质即可求解【详解】由题意设( ,0)A a，1(0, )Bb，2(0,)Bb，(c,0)F，则1(, )ABa b ，2(,)FBcb ，且12BPB为向量1AB 与2FB 的夹角，因为12BPB为钝角，则120ABFB ，即( a，) (bc ，)0b，即20acb，又222bac，所以220aacc，即210ee ，解得151522e ，又01e，所以5100.6172e，故选：BCD12己知数列1，12，1，13，23，1，14，24，34，1，则（）A数列的第12n n项均
14、为1B1213是数列的第90项C数列前50项和为28D数列前50项和为572【答案】ABD【分析】通过数列分布特征可判断A正确；令1912n n可判断B正确；设数列有m项，令1502m m，解得整数m，再列举出所有项数求和即可【详解】原数列可看作11，12，22，13，23，33，14，24，34，44，分析知第1项，第3项，第6项，第10项，第12n n项均为1，故A正确；令1912n n，解得13n ，即数列第91项为1，13n 代表分母为13，第91项可看做1313，故第90项为1213，故B正确；设数列有m项，令1502m m，mZ，解得m的最大值为9，即9 1052，说明数列第45项
15、为1，后5项为：12345,10 10 10 10 10，故前50项的和为：121231234129123451234910210923410123453572222102222，故C错误，D正确，故选：ABD三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共2020分分. .把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. .13已知直线l过点(1，0)，且与圆2241xyy相切，则直线l的方程为_【答案】210 xy 【分析】根据点斜式设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，从而求直线方程.【详解】圆2241xyy化为2225xy，圆心
16、为0, 2，半径5r ，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为1x ，此时不满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为1yk x，即kxyk0，所以20251kk，解得12k ，所以直线l的方程为210 xy .故答案为：210 xy .14已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则BC AG _.【答案】14【分析】由题意，ACCBC ACGGB ，根据数量积的定义及运算律即可求解.【详解】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，所以AGACCG ，且12CG ，1AC ，1BC ，所以ACCGABC AGBCBCBCCCG 111cos60cos1
17、20244ACBCGBCC ，故答案为：14.15 已知A，B是椭圆2222:10 xyCabab的左、 右顶点，P为C上一点， 设直线PA，PB的斜率分别为12,k k，若1 249k k ，则椭圆的离心率为_.【答案】53【分析】设出P点坐标，根据, ,P A B的坐标表示出12k k的结果，由此求得, a b的关系式，结合222abc可求得离心率的值.【详解】设00,P xy，,0 ,0AaB a，所以20001222000yyyk kxa xaxa，又2200221xyab，所以22220212222049bbxbak kxaa ，所以222249baca，所以2259ca，所以53e
18、 ，故答案为：53.16已知数列an的前n项和为Sn，a11，21(2)nnnaSSn，则an=_【答案】1,11,2(1)nnnn【分析】根据na与nS的递推关系可得1nS为等差数列，求出nS的通项公式，再进一步求出na；【详解】21nnnaSS， 211nnnnSSSS，2211nnnnnnSSSSSS，111111(2)nnnnnnSSSSnSS，1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，11(1) 11 1nSnnnS ，1nSn，当1n 时，111aS，当2n时，11111(1)nnnaSSnnnn，1,11,2(1)nnannn故答案为：1,11,2(1)nnnn四四、解答题：本大题
19、共、解答题：本大题共6 6小题，共小题，共7070分分. .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知圆C的圆心在直线yx上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为2 14（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线: l ykx的距离为2 2，求实数k的取值范围【答案】（1）22(2)(2)18xy或22(2)(2)18xy；（2）23,23.【分析】（1）设圆心为, t t，由题意及圆的弦长公式即可列方程组2222( 14)ttr，解方程组即可；（2）由题意可将问题转化为圆心到直线l：ykx的距离2d ，解不等式即可.【
20、详解】解：（1）设圆心为, t t，半径为r，根据题意得2222( 14)ttr，解得2,3 2tr ，所以圆C的方程为22(2)(2)18xy或22(2)(2)18xy（2）由（1）知圆C的圆心为2, 2或2,2，半径为3 2，由圆C上至少有三个不同的点到直线l：ykx的距离为2 2，可知圆心到直线l：ykx的距离3 22 22d 即2|22 |21kk，所以2140kk，解得2323k所以直线l斜率的取值范围为23,2318如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N设ABa ，ACb，1AAc（1）试用a，b，c表示向量MN ；（2
21、）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长【答案】（1）MN 13a13b13c；（2）53.【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】解：（1）MN 1MA 11AC1C N 131BAAC23CB 13AB 131AAAC23（AB AC）13AB 131AA13AC，又AB a，ACb，1AAc，MN 13a13b13c（2）ABACAA11，|a|b|c|1BAC90，ab0BAA1CAA160，a c b c 12，|MN |219（abc）219（2a2b2c2ab2a c 2b c ）59，|
22、MN |5319.在各项均为正数的等比数列 na中，22a 且3542,3a aa成等差数列，数列 nb满足212log,nnnbaS为数列 nb的前n项和.（1）求数列 nb的通项公式；（2）设数列 nc满足nnnSncna，求证：1234ncccc.【答案】（1）2nbn；（2）证明见解析.【分析】（1）设各项均为正数等比数列 na的公比为q，由3542,3a aa成等差数列，可求得q，从而求得数列 na的通项公式，再根据212lognnba即可得出答案；（2） 求出数列 nb的前n项和nS， 从而求得数列 nc的通项公式， 再根据错位相减法即可求得数列 nc的前n项的和，即可得证.（1）
23、解：设各项均为正数等比数列 na的公比为q，32a，5a，43a成等差数列，534223aaa，即2223qq，2q =或12q （舍去），又22a ，则212 22nnna，即数列 na的通项公式为12nna-=，22log 22nnbn；（2）证明：由（1）得2nbn，则12nnbb+-=，所以 nb是等差数列，故2(22 )2nnnSnn，则12nnnnSnncna，令123423123412222nnnnTccccc ，则23111231222222nnnnnT，两式相减得231111112122222222nnnnnnT 故12442nnnT，所以1234ncccc.20如图，在三棱
24、锥中，2CACB，3DADB，2AB .（1）求证：ABCD；（2）若直线AD与底面ABC所成角的正弦值为63，求二面角CADB的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【分析】（1） 取AB中点M， 连接CM，DM， 结合已知条件即可得到AB 平面DMC， 由此能证明ABCD；（2）作DOCM于点O，结合（1）可得DO 平面ABC，则DAO为直线AD与平面ABC所成的角，求出DO的值，得到O即为点M，以M为原点立如图空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角CADB的平面角的余弦值（1）取AB中点M，连DM、CM等腰DAB中，AMBM，所以DMAB，同理CMAB，又DMCMM，所
25、以AB 平面DMC，即ABCD.（2）如图，作DOCM于点O，由（1）可得平面DMC 平面ABC，且交于CM，DO平面ABC，DAO为直线AD与平面ABC所成的角，6sin3DODAOAD，即6323DO ，所以1OA，又=1AM，且由（1）可知，CM，AM垂直，所以O即为点M，DM平面ABC.以M为原点立如图所示空间直角坐标系：又因为2CACB，3DADB，2AB ，所以= 2DM，=1CM，=1AM，所以A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），面AMD法向量为1(0,1, 0)n ，设面ACD法向量为2( , )nx y z ，22( , , ) ( 1,1,0)0000(
26、, , ) ( 1,0,2)020 x y zxynACnADx y zxz ，令2221,1,(1,1,)22xyzn ，设二面角CADB的平面角为，由图可知为锐角，1212|110cos5| |512nnnn ，即所求角余弦值为105.21已知函数f（x）x3ax2bxc在x23与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对1,2x ，不等式 2f xc恒成立，求c的取值范围.【答案】 （1）1,22ab ，单调递增区间为2,3 和(1,)，单调递减区间为2,13； （2）1c 或2c【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0ff即可求出, a b；（2）求
27、出 fx在 1,2x 的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32( )f xxaxbxc， 232fxxaxb， f x在23x 与1x 时都取得极值，21240393(1)320fabfab，解得122ab ，2( )32(32)(1)fxxxxx，令 0fx可解得23x 或x1；令 0fx可解得213x， f x的单调递增区间为2,3 和(1,)，单调递减区间为2,13；（2）321( )2,1,22f xxxxc x ，由（1）可得当23x 时，22( )27f xc为极大值，而(2)2fc，所以 max22f xfc，要使2( )f xc对 1,2x 恒成立，则22cc，解得1c 或
28、2c.22.已知P是圆221:(1)16Fxy上任意一点，2(1,0)F，线段2PF的垂直平分线与半径1PF交于点Q，当点P在圆1F上运动时，记点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线4x 上任取一点(4,0)mTm ，直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）22143xy；（2）直线MN恒过定点1,0.【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得121|QFQFQFQP，即得点Q的轨迹是以12,F F焦点，长轴长为4的椭圆，利用椭圆的性质得解；（2）分别求得直线TA，TB方程的
29、表达式，分别与椭圆方程联立即可求得22254218,2727mmMmm，222266,33mmNmm，当3m 时，可求得直线MN的方程为26(1)9myxm，即直线MN过定点1,0，再讨论3m 时的情况即可得解.【详解】解：（1）由已知1211|4QFQFQFQPPF，所以点Q的轨迹为以12,F F为焦点，长轴长为4的椭圆，故22224,2,1,3aacbac所以曲线C的方程为22143xy（2）由（1）可得( 2,0)A ，(2,0)B，AT：(2)6myx，BT：(2)2myx，将(2)6myx与22143xy联立消去y整理得：222227441080mxm xm224108227Mmxm
30、 ，所以2254227Mmxm，因此21827Mmym，故22254218,2727mmMmm，同理222266,33mmNmm当3m 时，直线MN方程为26(1)9myxm，直线MN恒过定点1,0当3m时，331,1,22MN，直线MN过点1,0同理可知，当3m 时直线MN恒过点1,0综上，直线MN恒过定点1,0【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程00yyk xx或截距式ykxb来求解.
