1、人教A版（2019） 选择性必修一 第3章 圆锥曲线重 难 点 复 习l 知识梳理一、本节课思维导图二、重点结论梳理1、弦长公式AB=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x22、焦点三角形n 椭圆的焦点三角形：SF1PF2=b2tanPF1F22；如下图un 双曲线的焦点三角形：SF1PF2= b2tanF1PF22；u3、圆锥曲线的切线问题n 过椭圆上已知点的切线方程u 椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上一点Px0，y0 处的切线方程为 x0xa2+y0yb2=1n 过双曲线上已知点的切线方程u 双曲线x2a2-y2b2=1a0，b0上一点Px0，y0处的切线方程为：x0xa
2、2-y0yb2=1n 过抛物线上已知点的切线方程u 过抛物线y2=2pxp0上点Px1，y1的切线方程是：y1y=px+x1u 抛物线y2=2pxp0的斜率为k的切线方程是：y=kx+p2kk04、点与圆锥曲线的位置关系n 点与椭圆的位置关系：u Px0，y0在椭圆内部 x02a2+y02b21u Px0，y0在椭圆外部 x02a2+y02b21u Px0，y0在椭圆上 x02a2+y02b2=1n 点与双曲线的位置关系u Px0，y0在双曲线内部（与焦点共区域） x02a2-y02b21u Px0，y0在双曲线外部（与焦点不共区域） x02a2-y02b20内部 y020外部 y022px0
3、；5、椭圆中斜率乘积为定值的问题n （1）椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为-b2a2n （2）设A、B是椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上关于原点对称的两点，点P为该椭圆上不同于A、B的任一点，若直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-b2a26、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长。7、抛物线焦点弦的性质如图，AB为抛物线y2=2pxp0的焦点弦，Ax1，y2，Bx2，y2，焦点FP2，0，准线l：x=-p2，ACl，BDl，且M，N分别为线段AB，CD的中点，R为MN与抛物线的交点，则：（1）y1y
4、2=-p2，x1x2=p24；（2）CFD=90，NFAB，ANBN；（3）AF= p1-cos，BF= p1+cos，AB=x1+x2+p= y1-y222p= 2psin2；（4）直角梯形ABDC的对角线交于原点O，且SAOB=SCOD= p4 y1-y2= p22sin；（5）线段MN倍抛物线平分，即R为线段MN的中点；（6）RF=MN=AB；（7）1AF+1BF=2p（定值）；（8）以AB为直径的圆必与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；以CD为直径的圆与AB相切于F。l 典型例题题型1 根据圆锥曲线的定义确定方程例1 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）在平
5、面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=2pxp0上的点M与焦点F的距离为10，点M到x轴的距离为2p，则p的值为（ C ）A. 1B. 2C. 4D. 8【解析】可令点M（x，y），根据题意可知：x+p2=10y=2p，所以M（10-p2，2p），又因为M点在抛物线上，所以代入M点的坐标得：p=4例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第4题，5分）椭圆的两个焦点分别为F1-8，0，F28，0，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为（ C ）A. x236+y2100=1B. x2400+y2336=1C. x2100+y236=1D. x220+y212=1【解析】由题意
6、可知：c=8，则根据椭圆的定义得：2a=20，即a=10， b=6，椭圆方程即得。题型2 根据圆锥曲线方程确定曲线的几何参数例3 （2020年1月苏州市阳光测试，第3题，5分）双曲线y29-x216=1离心率为（ A ）A. 53B. 54C. 73D. 74题型3 求解圆锥曲线的离心率例4 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第17题，10分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2a2-y2b2=1的离心率分别为e1，e2，其中ab0。（1）求e12+e22的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于22，求e1和e2的取值范围。解：（1）由题意知：e12=a2-b2a2
7、，e22=a2+b2a2 e12+e22=2（代入计算过程略）（2）双曲线的渐近线方程为：y=bax 双曲线渐近线的斜率小于22 0ba22 e1=1-ba222，1 e2=1+ba21，62变式训练（2020年1月无锡市期末，第11题，5分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（ A ）A. B. C. D. 【解析】依题意，必须满足：PF1PF2+1=2aPF2=e+1 PF2=2ae+1又 a-cPF2a+c a-c2ae+1a+c不等号两端同时除以a得：1-e2e+11+e解得：e2-1又 0e1 2-1e0，b0的右焦点为F，O为坐标原点，
8、以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点。若AOF的面积为2，则实数a的值为（ A ）A. 2B. 22C. 4D. 8【解析】以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线bx-ay=0相交于O，A两点 FAOA，则FA=bca2+b2=bOA=c2-b2=a AOF的面积为2 ab=4又 双曲线的离心率e=2 可得：a2+b2a2=2即：b=a=2变式训练（2020年1月苏州市期末阳光测试，第16题，5分）已知一簇双曲线En：x2-y2 =1n2+n nN*，且n2020，设直线x=2与En在第一象限内的交点为An，由An向En的两条渐近线作垂线，垂足分别为Bn，Cn。记AnBnCn
9、的面积为an，则a1+a2+ +a2020= 。【解析】双曲线的渐近线方程为：xy=0 可令x=2，则：y2=4-1n2+n设An2，y，可得：AnBn=2-y2AnCn=2+y2 an=AnBnAnCn代入数据得：an=141n-1n+1 可得：a1+a2+ +a2020=141-12+12-13+12020-12021=5052021题型5 直线与圆锥曲线的位置关系例6 （2021年1月苏州市期末阳光测试，第11题，5分，多选）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2-y24=1与直线y=kx+mk2，mR有唯一的公共点，则动点Pk，m与定点Q0，2的距离可能为（ BCD ）A. 2B. 6
10、C. 22D. 3【解析】联立双曲线和直线方程可得：4-k2x2-2mkx-m2+4=0 有唯一公共点 =4m2k2+44-k2m2+4=0整理得：k2=m2+4 PQ=k2+m-22整理的：PQ=2m-12+66变式训练（2020年1月苏州期末阳光测试，第20题，10分）已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，。（1）求的取值范围；（2）若为直角三角形，且，求的值。解：（1）根据题意，可令直线方程为：y-2=kx-4与抛物线联立可得：x2-4kx+16k-8=0 直线与抛物线交于不同点M，N =16k2-416k-80整理得：k2-4k+20解得：k2+2 k的取值范围：-，2
11、-22+2，+（2）设Mx1，y1，Nx2，y2 O，M，N能构成三角形 O，M，N三点不共线 直线l不经过原点 2-4k0即：k由（1）可得：x1x2=16k-8 y1y2=16k2-16k+4 OMON OMON=x1x2+y1y2=16k2-4=0解得：k=（舍掉）或k=-（符合题意）综上所述：k=-题型6 弦长问题例7 （2020年1月常州溧阳市期末，第19题，12分）若椭圆：与双曲线：有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点。（1）求的值；（2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的长度。解：（1）由题意：椭圆与双曲线有相同的焦点，且两条曲线相交于点P103，y 10-m=1+
12、b10910+y2m=1109-y2b=1整理，得m=1，b=8（2）由（1）可知：椭圆的方程为：x210+y2=1 右焦点为F3，0 直线的方程为：y=22x-3设Ax1，y1，Bx2，y2联立直线和椭圆的方程得：6x2-30x+35=0则：x1+x2=5，x1x2=356 AB=1+k2x1+x22-4x1x2整理，得：AB=102题型7 定点、定值问题例8 （2020年1月常州市期末，第21题，12分）已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为，焦距为6。（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由。
13、【思路分析】（1）由条件c=3和离心率得到a的值，从而可以求出椭圆的方程；（2）设出直线AM的方程与椭圆联立，得到M的坐标，同理可以得到N的坐标，写出MN的方程即可。解：（1） 椭圆的离心率e=32，焦距为8 c=3，a=23 b2=a2-c2=3 椭圆方程为：x212+y23=1（2）可令左顶点A-23，0 直线AM、AN的斜率存在，且不为0 可设直线AM：y=kx+23与椭圆方程联立，得：y=kx+23x212+y23=1整理得：1+4k2x2+163k2x+48k2-12=0设Mx1，y1，则-23x1=48k2-121+4k2解得：x1=23-83k21+4k2y1=43k1+4k2可
14、得M的坐标为：M23-83k21+4k2，43k1+4k2设直线AN的斜率为k，则把点M坐标中的k替换为-14k，得：N83k2-231+4k2，-43k1+4k2 当M、N的横坐标不相等时，即直线MN的斜率存在时，kMN=2k1-4k212 直线MN的方程为：y-43k1+4k2=2k1-4k2x-23-83k21+4k2整理，得：y=2k1-4k2x 直线MN恒过定点（0，0） 当M、N的横坐标相等时，即：kMN=12此时，M、N的横坐标为0，直线MN也恒过定点（0，0）综上：直线MN恒过定点（0，0）题型8 线段最值问题例9 （2020年1月常州市期末，第16题，5分）点为椭圆上一点，、
15、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 。【解析】依据题意，椭圆的焦点分别是两圆的圆心（如图） PM+MF1PF1，PN+NF2PF2 PM+PN+MF1+NF2PF1+PF2=2a=25 PM+PN25-2-1=7又 PMPF1+MF1，PNPF2+NF2 PM+PNPF1+PF2+MF1+NF2=25+2+1=13综上：7PM+PN13题型9 多条圆锥曲线间的综合问题例10 （2020年1月无锡市期末，第22题，12分）已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若7AF=2AB，抛物线顶点在坐标原点，焦点为F。（1）求标准方程；（2）是否存在过F点直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使
16、得SOPQ=SOMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。解：（1）依题意可知：7AF=2AB，即7a=2a2+b2，由右顶点为B2,0得a=2，解得b2=3，所以C1的标准方程为x24+y23=1。（2）依题意可知C2的方程为y2=-4x，假设存在符合题意的直线设直线方程为x=ky-1，Px1,y1,Qx2,y2,Mx3,y3,Nx4,y4，联立方程组x=ky-13x2+4y2=12得3k2+4y2-6ky-9=0由韦达定理得：y1+y2=6k3k2+4，y2=-93k2+4 y1-y2=12k2+43k2+4联立方程组x=ky-1y2=-4x得y2+4ky-4=0，由韦达定理
17、得y3+y4=-4k，y3y4=-4， y3-y4=4k2+1，若SOPQ=SOMN，则y1-y2=y3-y4，即12k2+43k2+4=2k2+1解得k=63，所以存在符合题意的直线方程：x+63y+1=0或x-63y+1=0。题型10 圆锥曲线与数列的综合问题例11 （2020年1月苏州期末阳光测试，第22题，12分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点。（1）若。 求椭圆的离心率； 求直线的斜率。（2）若，成等差数列，且，求直线的斜率的取值范围。解：（1） SPF1F2=SPAF2，所以F1F2=F2A， a-c=2c，即a=3c，所以e=13。
18、设PF1的直线方程为y=kx+c， SPF1F2=SPBF1， 12PF1b-kc1+k2=12PF12kc1+k2， b-kc=2kc，则b-kc=2kc， P在第一象限， 0kbc，即：b=3kc，又 a=3c， b=22c，即：k=223。（2）设SPF1F2=t，则SPAF2=a-c2ct， P在第一象限，所以kbc，SPBF1SPF1F2=b-kck2+12kck2+1=b-kc2kc，所以SPBF1=b-kc2kct，因为SPAF2，SPF1F2，SPBF1成等差数列，所以2t=a-c2ct+b-kc2kct，所以4kc=ak-ck+b-kc，所以k6c-a=b，所以k=b6c-a
19、。所以b6c-abc，所以15e1，又由已知F1BO30，所以sinF1BO12，因为sinF1BO=e，所以15e12，因为k2=b236c2-12ac+a2=a2-c236c2-12ac+a2=1-e236e2-12e+1=1-e26e-12，令m=6e-1，所以e=m+16，k2=1-m+162m2=13635m2-2m-1=35361m-1352-135，因为15e12，所以15m2，所以121m5，所以316k20，所以34k0，b0的焦距为46，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OAOB，过O作ODAB于点D，点D的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为 。【答案】x230+y26=1三
20、、解答题10、（2019年1月苏州期末阳光测试，第15题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，ABDC，AD=BC=4，AB=8，DC=6。以A，B为焦点的双曲线x2a2-y2b2=1a0，b0过C，D两点。（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程。【答案】（1）x24-y212=1（2）离心率e=2；渐近线方程：y=3x11、（2021年1月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第20题，12分）过双曲线的右支上的一点P作一直线与两渐近线交于两点，其中是的中点。（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当，求直线的方程；（3）求证：是一个定值。【答案】（1）y=2
21、x（2）y=22x-2（3）定值=5，证明略12、（2021年1月淮安郑梁梅中学六校期末联考，第20题，12分）已知点F是椭圆C：x2a2-y2b2=1a0，b0的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点，当直线l过C的下顶点时，l的斜率为3，当直线l垂直于C的长轴时，OMN的面积为32。（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程；（3）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上。【答案】（1）x24+y23=1（2）5x2y-5=0（3）定直线为：x=13、（2021年1月苏州中学期末，第22题，12分）抛物线M:焦点为F，过焦点F的直线l（与x轴不垂直）交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为。（1）求证:直线过定点，并求出这个定点；（2）若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程。【答案】（1）定点（-2,0），证明略（2）直线AB：x3y-2=0圆N：x-192+y22=185
