1、2020-2021学年山东省淄博市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1直线x+y+10的倾斜角是（）A30B60C120D1502椭圆x2+2y21的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（，0）D（0，）3空间两点A（1，5，4），B（1，3，5）间的距离等于（）A2B3C4D94圆C1：x2+y2+8x+120和圆C2：x2+y26y0的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切52020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议某班级从3名男生和3名女生中任
2、选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.56如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若x+y+z，求x+y+z（）A1BC2D7光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+10上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）A4x5y+10B4x+5y90C5x4y10D5x+4y908设F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点若|PF1|+|PF2|6a，且，则双曲线C的渐近线方程是（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0二、多项选择题（共4小
3、题）.9若，与的夹角为120，则的值为（）A17B17C1D110已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A向量的模是3B可以构成空间的一个基底C向量和夹角的余弦值为D向量与共线11已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（）A若A，B是互斥事件，则P（AB）P（A）P（B）B若事件A，B相互独立，则P（A+B）P（A）+P（B）C若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率12已知F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|，点P为双曲线右支一点，I为PF1
4、F2的内心，则下列结论正确的有（）A离心率B点I的横坐标为定值aC若（R）成立，则1D若PH垂直x轴于点H，则|PH|2|HA1|HA2|三、填空题（共4小题）.13已知直线l1：（m1）x3y+30和直线l2：2x+my50垂直，则实数m 14现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是 15已知空间直线l的方向向量是，平面的法向量若l，则a+b 16已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是 四、解答题（共6小题）.17已知在空
5、间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是（2，0，2），（2，1，0），（0，4，1），（2，3，1），过点A，B，C的平面记为（1）证明：点A，B，C，M不共面；（2）求点M到平面的距离18已知ABC中，点A（1，5），边BC所在直线l1的方程为7xy180，边AB上的中线所在直线l2的方程为yx（1）求点B和点C的坐标；（2）若ABC的外接圆为M，求直线l2被M截得的弦长19袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（）从中任取两个球，
6、得到的两个球颜色不相同的概率是多少？20在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程21如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；（2）设，若平面C1EF平面MB1D1，求的值22已知椭圆C：1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），中恰有三点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆
7、O的两条弦CD，EF若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MPMQ该结论可推广到椭圆如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为（0，），且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MPMQ参考答案一、单项选择题（共8小题）.1直线x+y+10的倾斜角是（）A30B60C120D150解：直线x+y+10的斜率k，设其倾斜角为（0180），则tan，150故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2椭圆x2+2y21的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（，0）D（0，）解：椭圆x2+8y21的标准方程为：x2+1，a21，b2，c2a2b2，c又椭
8、圆x2+2y21的焦点在x轴，椭圆x2+2y21的焦点坐标是（，0）故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的焦点坐标的求法，由其方程明确焦点位置是关键，属于中档题3空间两点A（1，5，4），B（1，3，5）间的距离等于（）A2B3C4D9解：因为空间两点A（1，5，4），B（1，3，5），故A，B两点间的距离为故选：B【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键是熟练掌握空间两点间的距离公式，属于基础题4圆C1：x2+y2+8x+120和圆C2：x2+y26y0的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切解：根据题意圆C1：x2+y2+8x+120，即（x+4）2+y2
9、4，其圆心为（4，0），半径r2，圆C2：x2+y26y0，即x2+（y3）29，其圆心为（0，3），半径R3，圆心距|C1C2|5，则圆心距|C1C2|R+r5，则两圆外切，故选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，属于基础题52020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二O三五年远景目标的建议某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5解：某班级从3名男生和3名女生
10、中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，基本事件总数n15，选中的2人恰好都是女生包含的基本事件个数m3，则选中的2人恰好都是女生的概率为P0.2故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若x+y+z，求x+y+z（）A1BC2D解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，连接DC1，D1C，交于点F，（）+（），x+y+z，x+y+z1+1故选：A【点评】本题考查代数式求值，考查空间向量加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
11、7光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+10上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）A4x5y+10B4x+5y90C5x4y10D5x+4y90解：根据光学性质可知点A（2，3）关于直线x+y+10的对称点 A（4，3）在反射光线所在直线上，由两点式可得反射光线所在直线方程为：，化简得：4x5y+10故选：A【点评】本题考查了点关于直线对称，直线方程的两点式，属中档题8设F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点若|PF1|+|PF2|6a，且，则双曲线C的渐近线方程是（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解：由双曲线的定义知，|
12、PF1|PF2|2a，|PF1|+|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a，|PF1|PF2|sinF1PF2，4a2asinF1PF2，即sinF1PF2，在PF1F2中，由余弦定理知，cosF1PF21，（）2+（1）21，化简得，2，双曲线C的渐近线方程为yxx，即xy0故选：A【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了正弦的面积公式和余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9若，与的夹角为120，则的值为（）A1
13、7B17C1D1解：，与的夹角为120，cos120，解得1或17故选：AC【点评】本题考查实数值的求法，考向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A向量的模是3B可以构成空间的一个基底C向量和夹角的余弦值为D向量与共线解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以，且，则，所以向量的模是，故选项A错误；对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，所以不共面，而向量均与共面，所以与不共面，则可以构成空间的一个基底，故选项B正确；对于选项C，设与的夹角为，则，所以向量和夹角的余弦值为，故选项C 正确；对于
14、选项D，因为，同理可得，则，所以向量与的夹角为120，则向量与不共线，故选项D错误故选：BC【点评】本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题11已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是（）A若A，B是互斥事件，则P（AB）P（A）P（B）B若事件A，B相互独立，则P（A+B）P（A）+P（B）C若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率解：对于A，若A，B是互斥事件，则P（AB）0，故A错误；对于B，若事件A，B互斥事件，
15、则P（A+B）P（A）+P（B），故B错误；对于C，对立事件一定是互斥事件，若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，故C正确；对于D，事件A，B至少有一个发生包含A，B恰好有一个发生和A，B同时发生两种情况，事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率，故D正确故选：CD【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质等基础知识，是基础题12已知F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|，点P为双曲线右支一点，I为PF1F2的内心，则下列结论正确的有（）A离心率B点I的横坐标为定值aC若（R
16、）成立，则1D若PH垂直x轴于点H，则|PH|2|HA1|HA2|解：|F1F2|2c，且b2c2a2，c22aca20，e1，e22e10，e+1，即选项A正确；设内切圆I与PF1F2的三边分别相切于点M，N，T，如图所示，由圆的切线长定理知，|PM|PN|，|F1M|F1T|，|F2N|F2T|，由双曲线的定义知，2a|PF1|PF2|PM|+|F1M|（|PN|+|F2N|）|F1T|F2T|，而|F1T|+|F2T|2c，|F1T|c+a，|F2T|ca，T（a，0），即点I的横坐标为定值a，故选项B正确；设圆I的半径为r，（R），|PF1|r|PF2|r+|F1F2|r，即|PF1|
17、PF2|+|F1F2|，|PF1|PF2|F1F2|，即2a2c，即选项C正确；假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），则1，PH垂直x轴于点H，|PH|2n2（1）b2，|HA1|m+a，|HA2|ma，|HA1|HA2|（m+a）（ma）m2a2，若|PH|2|HA1|HA2|，则（1）b2m2a2，化简得m2a2，此时点P与H重合，不符合题意，即选项D错误故选：ABC【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，圆的切线长定理，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知直线l1：（m1）x3y+30和直线l2：2x+my
18、50垂直，则实数m2解：因为直线l1：（m1）x3y+30和直线l2：2x+my50垂直，所以（m1）2+（3）m0，解得m2故答案为：2【点评】本题考查了两条直线位置关系的运用，涉及了直线的一般式方程的应用、两条直线互相垂直的充要条件的应用，属于基础题14现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是0.972解：现有3个灯泡并联而成的闭合电路，在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是：P0.972故答案为：0.972【点评】本题考查概
19、率的求法，考查n个独立重复试验中事件A恰好有k个发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15已知空间直线l的方向向量是，平面的法向量若l，则a+b2解：是直线l的方向向量，是平面的法向量，l，解得a+b2故答案为：2【点评】本题向量平行、线面垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题16已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是8解：抛物线的标准方程为x28y，所以焦点F（0，2），准线方程为y2，因为抛物线的准线与y轴交于点M，所以点M（0，2），设A（x1，y1），y10，则有，所以，所以，当且仅当，即y12时取
20、等号，所以当y12时，最大，此时A（4，2），故AB4+48答案为：8【点评】本题考查了抛物线的应用，涉及了抛物线标准方程的应用、抛物线的几何性质、利用基本不等式求最值等，涉及知识点多，对学生的解题能力有一定的要求，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A，B，C，M的坐标分别是（2，0，2），（2，1，0），（0，4，1），（2，3，1），过点A，B，C的平面记为（1）证明：点A，B，C，M不共面；（2）求点M到平面的距离【解答】证明：（1）由已知可得，假设A、B、C三点共线，则存在实数，使得，即（0，1，
21、2）（2，4，3），则，此方程组无解，故不共线，A，B，C不共线，即过点A，B，C的平面是惟一的，若点A，B，C，M共面，则存在x，yR，使得，即（0，3，3）x（0，1，2）+y（2，4，3），即，此方程组无解，即不存在实数x，y，使得，即A、B、C、M不共面；（2）设平面的法向量为，则，取c2，得点M到平面的距离为d【点评】本题考查平面的基本性质及应用，训练了利用空间向量求点到面的距离，考查运算求解能力，是中档题18已知ABC中，点A（1，5），边BC所在直线l1的方程为7xy180，边AB上的中线所在直线l2的方程为yx（1）求点B和点C的坐标；（2）若ABC的外接圆为M，求直线l2被M
22、截得的弦长解：（1）联立方程组，解得，即C（3，3）设B（s，t），则边AB上的中点坐标为（，），可得方程组，解得，即点B（2，4）；（2）设ABC的外接圆方程为（xa）2+（yb）2r2（r0），将三角形的三个顶点坐标代入，得：解得所以三角形外接圆的方程为（x+1）2+y25所以该圆的圆心坐标是（1，0），半径r5圆心（1，0）到直线l2的方程为xy0的距离为：d所以弦长等于27【点评】考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和圆的一般方程等知识，属于中档题19袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试
23、求：（）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？【解答】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知得，解得 从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以所求概率为，则得到的两个球颜色不相同的概率是【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件事件概率加法公式的合
24、理运用20在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程解：（1）动点P（x，y）到x轴的距离为y，到点M的距离为PM，因为动点P（x，y）（y0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1，所以y+1，两边平方可得，x24y，故动点P的轨迹C的方程为x24y；（2）根据题意，显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x可得y2（2+4k2）y+10，所以，所以AB，解得k1，所以直
25、线l的方程为yx+1或yx+1【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了抛物线标准方程的应用、直线与抛物线位置关系，要掌握常见的求解动点轨迹的方法：定义法、直接法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题21如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；（2）设，若平面C1EF平面MB1D1，求的值解：（1）以D为坐标原点，分别以棱DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2
26、，2），D1（0，0，2），因为E，F分别为BC，CD的中点，所以点E（1，2，0），F（0，1，0）所以，设平面C1EF的法向量为，则有，所以，令z1，则x2，y2，所以，又，设平面AB1D1的法向量为，则有，所以，令c1，则a1，b1，所以，设平面C1EF和平面AB1D1的夹角为，所以，所以平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值为；（2）因为，设点M的坐标为（x，y，z），所以（x，y2，z）（2，2，0），故点M的坐标为（2，22，0），所以，由（1）可知，平面C1EF的法向量为，因为平面C1EF平面MB1D1，所以，所以，解得【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，主要考查了利
27、用空间向量求二面角的余弦值，利用空间向量解决空间中线面位置关系，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，属于中档题22已知椭圆C：1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），中恰有三点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MPMQ该结论可推广到椭圆如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为（0，），且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MPMQ【解答】（1）解：由于P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C必经过P3，P4两点，又+，所以椭圆C不
28、经过点P1，所以点P2在椭圆C上，所以，解得，所以椭圆C的方程为（2）证明：因为点M在y轴上，且M为AB的中点，所以直线AB平行于x轴，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），设直线CD的方程为yk1x+，代入椭圆C的方程中，得（+）x2+k1x0，所以x1+x2，x1x2，同理，设直线EF的方程为yk2x+，则x3+x4，x3x4，因为C、P、F三点共线，所以，解得xP，同理，由E、Q、D三点共线，可得xQ，所以xP+xQ+0即xPxQ，所以|xP|xQ|，即MPMQ【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题
