1.4 空间向量的应用-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

空间向量的应用空间向量的应用【要点梳理】【要点梳理】要点一、直线的方向向量和平面的法向量要点一、直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：直线的方向向量： 若 A、B 是直线 上的任意两点，则为直线 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线 的方向向量。要点诠释：要点诠释： （1） 在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。（2） 在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。2. 平面的法向量定义平面的法向量定义：已知平面，直线，取 的方向向量，有，则称为为平面的法向量。要点诠释：要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。3.平面的法向量确定通常有两种方法：平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量 ；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下 ： （i）设出平面的法向量为 n=（x，y，z） ； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 a=（a1，b1，c1） ，b=（a2，b2，c2） ；AB lAB lllaaa （iii）根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量要点二、用向量方法判定空间中的平行关系要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行）线线平行设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即。（2）线面平行）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：设直线 的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即。根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。（3）面面平行）面面平行由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明。要点三、用向量方法判定空间的垂直关系要点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1）线线垂直）线线垂直设直线，的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即。（2）线面垂直）线面垂直00n an b1l2lab12/ll/ab()kkRablau/lau0a uuv/uv1l2lab12llab0a b设直线 的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明。根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直）面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。证明两个平面的法向量互相垂直。要点四、用向量方法求空间角要点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角）求异面直线所成的角已知 a，b 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为，则（2）求直线和平面所成的角）求直线和平面所成的角设直线 的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有。（3）求二面角）求二面角如图，若于 A，于 B，平面 PAB 交 于 E，则AEB 为二面角的平面角，AEB+APB=180。若分别为面，的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角laul/au|cos| |AC BDACBD lauau|sin|cos| |a uauPAPBll 12n n121212,arccos| |n nn nnn 12,AEB n n12,n n1n2n1n2n的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。要点五、要点五、 用向量方法求空间距离用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：求点面距的一般步骤：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。即：点 A 到平面的距离，其中，是平面的法向量。2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【典型例题】【典型例题】类型一、求平面的法向量类型一、求平面的法向量例例 1已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，在 BC、DD1上是否存在点 E、F，使成为平面 ABF的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点 E、F 满足的条件；若不存在，请说明理由12,n n1n2n1n2n12,n n|AB ndn Bna|AB ndn ,Aa Bn, |AB ndn ,ABn1B E举一反三：举一反三：【变式 1】 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AD=AA1=1， AB=2， 点 E 为 AB 的中点， 求平面 CD1E的一个法向量。【变式 2】已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且 PA=AD。求证：是平面 PDC 的法向量。类型二、利用向量研究平行问题类型二、利用向量研究平行问题 例例 2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD【解析】 解法一：建立空间直角坐标系，MN 举一反三：举一反三：【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点，为的中点，求证：直线平面。例例 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1的边长为 4，M、N、E、F 分别是棱 A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点求证：平面 AMN平面 EFBDOABCDABCDOAABCD2OA22ADABMOANBCMNOCD举一反三：举一反三：【变式】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点 E 在线段 BB1上，且EB1=1，D、F、G 分别为 CC1、C1B1、C1A1的中点。求证：平面 EGF平面 ABD。类型三、利用向量研究垂直问题类型三、利用向量研究垂直问题 例例 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O 为底面 ABCD 的中心，求证：B1O平面 PAC。举一反三：举一反三：【变式】如图，M、N、P 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1中的棱 CC1、BC、CD 的中点。求证：A1P平面 DMN。例例 5在正三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB上的点，且 BEEC=PFFB=12，求证：平面 GEF平面 PBC举一反三：举一反三：【变式】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1上求一点 P，使得平面 A1B1P平面 C1DE类型四、利用向量求空间角类型四、利用向量求空间角 例例 6. 如图， 在正方体中， 点，分别是,的一个四等分点， 求与所成的角的余弦值1111ABCDABC D1E1F11AB11C D1BE1DF举一反三：举一反三：【变式】如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值DBCAS例例 7四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面（）证明；（）求直线与平面所成角的正弦值例例 8.如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，且 BEAE。求二面角的余弦值；举一反三：举一反三：【变式】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，,点是的中点，作交于点(1) 求证：平面；(2) 求二面角的大小SABCDABCD45ABC 2AB 2 2BC SBC ABCD3SASBSABCSDSABBACEPABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBPBFPBEFDCPBD例例 9.长方体 ABCD中，AB=4，AD=6，M 是 A1C1的中点，P 在线段 BC 上，且|CP|=2，Q 是 DD1的中点，求： （1）M 到直线 PQ 的距离； （2）M 到平面 AB1P 的距离。举一反三：举一反三：【变式 1】已知直线 l 的方向向量( 1,0,1)a ，点 A（1，2，1）在 l 上，则点 P（2，1，2）到 l 的距离为（ ）A15 B4 C17 D3 2【变式 2】棱长为 1 的正方体 AC1，E、F 分别是 B1C1、C1D1的中点，求点 A1到平面的 BDEF 的距离1111DCBA4AA1【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1若直线l的方向向量1( ,0,1)2a，平面的法向量为( 1,0, 2) b，则（ ）A/l Bl Cl Dl与斜交2若平面的法向量为，直线l的方向向量为 v，直线l与平面的夹角为，则下列成立的是（ ）Acos|vv B|cos|vv Csin| |vv D|sin| |vv3已知平面内有一个点 A（2，1，2） ，的一个法向量为 n=（3，1，2） ，则下列点 P 中，在平面内的是（ ） A （1，1，1） B （1，3，32） C （1，3，32） D （1，3，32）4 P 是 二 面 角AB棱 上 的 一 点 ， 分 别 在、半 平 面 上 引 射 线 PM 、 PN ， 如 果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角的大小为（ ） A60 B70 C80 D905已知111ABCABC是棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点，点1C到平面1AB D的距离（ ）Aa42 Ba82 Ca423 Da226若向量( ,4,5)ax，(1, 2,2)b ，且a与b的夹角的余弦值为26，则 x=（ ）A3 B3 C11 D3 或117在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBC21PA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值（ ）A621 B338 C60210 D30210二、填空题二、填空题8若平面的一个法向量为 n=（3，3，0） ，直线l的一个方向向量为 b=（1，1，1） ，则l与所成角的余弦值为_9若分别与一个二面角的两个面平行的向量 m=（1，2，0） ，n=（3，0，2） ，且 m、n 都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为_10正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为 AB、CC1的中点，则异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是_。11 在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，E、F分别是11AB、CD的中点，求点B到截面1AEC F的距离 三、解答题三、解答题12.如图，正四棱柱1111ABCDABC D中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31求二面角1ADEB的余弦值13. 如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120,E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC()证明：平面 AEC平面 AFC()求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值。14.如图，在三棱台 DEFABC 中，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点。（I）求证：BD平面 FGH；（II）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小。空间向量的应用空间向量的应用【要点梳理】【要点梳理】要点一、直线的方向向量和平面的法向量要点一、直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：直线的方向向量： 若 A、B 是直线 上的任意两点，则为直线 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线 的方向向量。要点诠释：要点诠释： （1） 在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。（2） 在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。2. 平面的法向量定义平面的法向量定义：已知平面，直线，取 的方向向量，有，则称为为平面的法向量。要点诠释：要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。3.平面的法向量确定通常有两种方法：平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量 ；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下 ： （i）设出平面的法向量为 n=（x，y，z） ； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 a=（a1，b1，c1） ，b=（a2，b2，c2） ；AB lAB lllaaa （iii）根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量要点二、用向量方法判定空间中的平行关系要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行）线线平行设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即。（2）线面平行）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：设直线 的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即。根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。（3）面面平行）面面平行由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明。要点三、用向量方法判定空间的垂直关系要点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1）线线垂直）线线垂直设直线，的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即。（2）线面垂直）线面垂直00n an b1l2lab12/ll/ab()kkRablau/lau0a uuv/uv1l2lab12llab0a b设直线 的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明。根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直）面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。证明两个平面的法向量互相垂直。要点四、用向量方法求空间角要点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角）求异面直线所成的角已知 a，b 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为，则（2）求直线和平面所成的角）求直线和平面所成的角设直线 的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有。（3）求二面角）求二面角如图，若于 A，于 B，平面 PAB 交 于 E，则AEB 为二面角的平面角，AEB+APB=180。若分别为面，的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角laul/au|cos| |AC BDACBD lauau|sin|cos| |a uauPAPBll 12n n121212,arccos| |n nn nnn 12,AEB n n12,n n1n2n1n2n的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。要点五、要点五、 用向量方法求空间距离用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：求点面距的一般步骤：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。即：点 A 到平面的距离，其中，是平面的法向量。2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【典型例题】【典型例题】类型一、求平面的法向量类型一、求平面的法向量例例 1已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，在 BC、DD1上是否存在点 E、F，使成为平面 ABF的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点 E、F 满足的条件；若不存在，请说明理由 【解析】如图所示的空间直角坐标系， 则 A（1，0，1） ，B（1，1，1） ，B1（1，1，0） 设 F（0，0，h） ，E（m，1，1） ， 则，ABB1E若是平面 ABF 的法向量，则12,n n1n2n1n2n12,n n|AB ndn Bna|AB ndn ,Aa Bn, |AB ndn ,ABn1B E(0,1,0)AB 1(1,0,1)B Em(1,0,1)FAh 10AB B E 1B E，h=m即 E、F 满足 D1F=CE 时，是平面 ABF 的法向量 故存在，且 E、F 满足 D1F=CE举一反三：举一反三：【变式 1】 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AD=AA1=1， AB=2， 点 E 为 AB 的中点， 求平面 CD1E的一个法向量。【答案】如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A（1，0，0） ，B（1，2，0） ，C（0，2，0） ，D1（0，0，1） ，所以 E（1，1，0）所以，。设平面 CD1E 的法向量=（x，y，z） ，则：，所以，所以令 y=1，则 x=1，z=2。所以平面 CD1E 的一个法向量为（1，1，2）【变式 2】已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且 PA=AD。求证：是平面 PDC 的法向量。【答案】如图，建立空间直角坐标系，设正方形 ABCD 的边长为 1，则 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，11 10B E FAmhmh 1B E(1, 1,0)CE 1(0, 2,1)CD n0CE n10CD n020 xyyz2xyzyMN AxyzC（1，1，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，1）,，即平面 PCD, 所以为平面 PCD 的法向量。类型二、利用向量研究平行问题类型二、利用向量研究平行问题 例例 2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD【解析】 解法一：建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则、D（0，0，0） 、A1（1，0，1） 、B（1，1，0） ，于是，设平面 A1BD 的法向量是 n=（x，y，z） ，则，且，得取 x=1，得 y=1，z=1n=（1，1，1）又，MN平面 A1BD解法二：，MN平面 A1BD1( ,0,0)2M1 1 1( , )2 2 2N1 1(0, )2 2MN ( 1, 1,1),( 1,0,0)PCDC 110 ( 1)( 1)1022MN PC 110 ( 1)00022MN DC ,DMNPC MNC MN MN 10,1,2M1,1,12N11,0,22MN 10n DA0n BD 00 xzxy11,0,(1, 1, 1)022MN n MNn 1111111111111()2222MNC NC MC BC CD AD DDA 1/MNDA 举一反三：举一反三：【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点，为的中点，求证：直线平面。 【解析】建立空间直角坐标系，则，,法一：,共面又平面，平面， 平面,，平面法二：设平面的法向量为，则，即 ，取,得，又平面，平面例例 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1的边长为 4，M、N、E、F 分别是棱 A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点求证：平面 AMN平面 EFBD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则 A（4，0，0） ，M（2，0，4） ，N（4，2，4） ，D（0，0，0） ，B（4，4，0） ，E（0，2，4） ，F（2，4，4）OABCDABCDOAABCD2OA22ADABMOANBCMNOCDAxyz(0,0,0)A(1,0,0)B(1,2,0)C(0,2,0)D(0,0,1)M(1,1,0)N(0,0,2)O(1,1, 1)MN (1,0,0)DC (0, 2,2)DO 12MNDCDO MN DC DO 、 、MN OCDDC OCDDO OCDDCDO=DMNOCDOCD( , , )nx y z00n DOn DC 2200yzx1z (0,1,1)n (1,1, 1) (0,1,1)0MN n MN OCDMNOCD ，)4 , 2 , 0(AN，)4 , 2 , 0(DE 可见，DEAN ，MNEF，ANDE，MN平面 EFBD，AN平面 EFBD又 MNAG=G，平面 AMN平面 EFBD举一反三：举一反三：【变式】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点 E 在线段 BB1上，且EB1=1，D、F、G 分别为 CC1、C1B1、C1A1的中点。求证：平面 EGF平面 ABD。【答案】如图，由条件，知 BA，BC，BB1两两互相垂直，建立直角坐标：由条件知 B（0，0，0） 、D（0，2，2） ，B1（0，0，4） ，设 BA=a，则 A（a，0，0） 。所以，。，所以 B1DBA，B1DBD。因此 B1D平面 ABD（1）由 E、F、G 的定义，知 E（0，0，3） 、F（0，1，4）所以，所以 B1DEG，B1DEF所以 B1D平面 EFG结合（1） ，可知平面 EGF平面 ABD类型三、利用向量研究垂直问题类型三、利用向量研究垂直问题 (2,2,0)MN (2,2,0)EF MNEF ( ,0,0)BAa (0,2,2)BD 1(0,2, 2)B D 10B D BA 10440B D BD (,1,4)2aG(,1,1)2aEG (0,1,1)EF 10220B D EG 10220B D EF 例例 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O 为底面 ABCD 的中心，求证：B1O平面 PAC。【答案】如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为 2，则 A（2，0，0） ，P（0，0，1） ，C（0，2，0） ，B1（2，2，2） ，O（1，1，0）则，所以 OB1AC，OB1AP。所以 OB1平面 PAC。举一反三：举一反三：【变式】如图，M、N、P 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1中的棱 CC1、BC、CD 的中点。求证：A1P平面 DMN。【解析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则 D（0，0，0） ，A1（2，0，2） ，P（0，1，0） ，M（0，2，1） ，N（1，2，0）法一：法一： A1PDM，A1PDN，又DMDN=DA1P平面 DMN法二：法二：设平面 DMN 的法向量为=（1，x，y）1(1,1,2)OB ( 2,2,0)AC ( 2,0,1)AP 1220OBAC 1220OBAP 1(0,1,0)(2,0,2)( 2,1, 2),(0,2,1)(0,0,0)(0,2,1),(1,2,0)A PDMDN 1( 2,1, 2) (0,2,1)( 2)01 2( 2) 10 A P DM1( 2,1, 2) (1,2,0)( 2) 1 1 2( 2)00A P DN 11,A PDM A PDN n由（1） ， （2）解得又 面 DMN即直线 A1P面 DMN例例 5在正三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB上的点，且 BEEC=PFFB=12，求证：平面 GEF平面 PBC【答案】如图建立空间直角坐标系令 PA=PB=PC=3，则 A（3，0，0） 、B（0，3，0） 、C（0，0，3） 、E（0，2，1） 、F（0，1，0） 、G（1，1，0） 、P（0，0，0） 于是，故，PAFG 而 PA平面 PBC，FG平面 PBC又 FG平面 EFG，平面 EFG平面 PBC举一反三：举一反三：【变式】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1上求一点 P，使得平面 A1B1P平面 C1DE 【解析】如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 A1（1，0，1） ，B1（1，1，1） ，E（，1，0） ，C1（0，1，1） ，设 P 的坐标为（0，1，a） (1, , ) (0,2,1)20(1)(1, , ) (1,2,0)120(2) nDMn DMx yxynDNn DNx yx11,1,(1,1)22 xyn1( 2,1, 2),A P 12nA P 1nA P1A P(3,0,0)PA (1,0,0)FG 3PAFG 12 ，。 设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1=（x，y，z） ， 则 令 z=1，则得 x=a1，所以平面 A1B1P 的一个法向量为 n1=（a1，0，1） 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2=（x，y，z） ，则，令 y=1，则得 x=2，z=1，所以平面 C1DE 的一个法向量为 n2=（2，1，1） 要使平面 A1B1P平面 C1DE，则 n1n2=02(a1)1=0，解得，所以当 P 为 CC1的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE类型四、利用向量求空间角类型四、利用向量求空间角 例例 6. 如图， 在正方体中， 点，分别是,的一个四等分点， 求与所成的角的余弦值【解析】设正方体的棱长为 1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，,11(0,1,0)AB 1( 1,1,1)APa 1,1,02DE1(0,1,1)DC 1111100(1)00nAByxyaznAP 221100200nDExynDCyz 12a 1111ABCDABC D1E1F11AB11C D1BE1DF1,DA DC DD Oxyz1131(1,1,0),(1,1),(0,0,0),(0,1)44BEDF131(1,1)(1,1,0)(0,1)44BE 111(0,1)(0,0,0)(0,1)44DF 1174BE 1174DF 1111150 0() 1 14416BEDF 111111cos,151516.17171744BEDFBE DFBEDF 111111cos,151516.17171744BEDFBE DFBEDF DBCAS因此，与所成的角的余弦值是举一反三：举一反三：【变式】如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值【解析】 （）交线围成的正方形 EHGF 如图：（）作 EMAB，则 AM=A1E=4，EM=AA1=8，EH=EF=BC=10，226MHEHEM，AH=10建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 A（10，0，0） ，H（10，10，0） ，E（10，4，8） ，F（0，4，8） ，(10,0,0)FE ，(0, 6,8)HE 设( , , )nx y z是平面 EHGF 的法向量，则0,0,n FEn HE 即100,680,xyz所以可取(0,4,3)n 又( 10,4,8)AF ，故4 5cos,15n AFn AFnAF ，所成角的正弦值为4 515例例 7四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面（）证明；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以1BE1DF1517SABCDABCD45ABC 2AB 2 2BC SBC ABCD3SASBSABCSDSABSOBCOAOSBCABCDSOABCDSASBAOBO又，为等腰直角三角形，如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以（2）取中点，中点，连结，则，所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余)0 ,22,2(D，所以，直线与平面所成的角的正弦值为例例 8.如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，且 BEAE。求二面角的余弦值；【解析】（）分别作、的中点、，45ABC AOBAOOBOOAxOxyz( 2 0 0)A， ，(02 0)B ， ，(02 0)C，(0 01)S， ，( 2 01)SA ， ，(0 2 2 0)CB ，0SA CB SABCABESEGSEOG22(0)22，E22 1()442，G22 1()442，OG 22(1)22，SE (22 0)， ，AB 0SE OG 0AB OG OGSEOGABOG SABOGDS SDSAB(2 2 21)DS ，22cos11| |OG DSOGDS 22sin11SDSAB2211BACEABCDO1O则，建立空间直角坐标系，则，,，,，,，平面的法向量设平面的法向量，则，即，令，则，,故二面角的余弦值为.举一反三：举一反三：【变式】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，,点是的中点，作交于点(1) 求证：平面；(2) 求二面角的大小【答案】如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设则有（1）依题意得又，故，由已知，且平面1OEOB12OO (0,0,0)O(0, 1,0)A(0,1,0)B(0,1,2)C(0, 1,2)D(1,0,0)EAE(1,1,0) AC(0,2,2) (1,0,0)OE DA(0,0,2)ABC(1,0,0)OE ACE( , , )nx y zAEn ACn AE0AC0nn 0220 xyyz1y 1xz ( 1,1, 1)n 13cos,3| |31OE nOE nOEn BACE33PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBPBFPBEFDCPBDD1DC 1 1(1,0,0), (0,0,1),(0, )2 2APE(1,1,0),(1,1, 1)BPB 1 1(0, )2 2DE 110022PB DE PBDEEFPBEFDEEPBEFD(2) 已知，由（1）可知，故是二面角的平面角设点的坐标为，则，即，点的坐标为，所以，即二面角的大小为例例 9.长方体 ABCD中，AB=4，AD=6，M 是 A1C1的中点，P 在线段 BC 上，且|CP|=2，Q 是 DD1的中点，求： （1）M 到直线 PQ 的距离； （2）M 到平面 AB1P 的距离。【解析】如图，建立空间直角坐标系 Bxyz，则 A（4，0，0） ，M（2，3，4） ，P（0，4，0） ，Q（4，6，2） ，（1），PBEFPBDFEFDCPBDF( , , )x y z( , ,1)PFx y z PFkPB ( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk,1xk yk zk 0PB DF (1,1, 1) ( , ,1)1310k kkkkkk 13k F1 1 2( , )3 3 31 11(,)3 66FE cos1 111121(,) (,)13 663336.1266363FE FDEFDFEFD 因为60EFDCPBD601111DCBA4AA1)2, 2, 4(QP),2 , 3, 2(QM上的射影的模故 M 到 PQ 的距离为（2）设是平面的某一法向量，则，因此可取，由于，那么点 M 到平面的距离为:，故 M 到平面的距离为。举一反三：举一反三：【变式 1】已知直线 l 的方向向量( 1,0,1)a ，点 A（1，2，1）在 l 上，则点 P（2，1，2）到 l 的距离为（ ）A15 B4 C17 D3 2【答案】C 【解析】连接 AP,做 P 垂直直线 l 交于 B，则|2|AB|=2|2AP aa ，所以22|PB|AP|AB|19217.QPQM在|QP|QPQM6652410)2()2()4()2(2)2()3()4()2(222646262517665|QM|22)z, y, x(nPAB1AP,AB1nn)0 , 4 , 4(AP),4 , 0 , 4(AB10y4x40z4x4) 1 , 1 , 1 (n)4, 3, 2(MAPAB13353| 1)4(1) 3(12|MA|dnnPAB1335【变式 2】棱长为 1 的正方体 AC1，E、F 分别是 B1C1、C1D1的中点，求点 A1到平面的 BDEF 的距离【答案】如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，则知 B（1，1，0） ，设得则令设点 A1在平面 BDFE 上的射影为 H，连结 A1D，知 A1D 是平面 BDFE 的斜线段即点 A1到平面 BDFE 的距离为 1【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1若直线l的方向向量1( ,0,1)2a，平面的法向量为( 1,0, 2) b，则（ ）A/l Bl Cl Dl与斜交1 【答案】B； 【解析】由于2 ba，所以l2若平面的法向量为，直线l的方向向量为 v，直线l与平面的夹角为，则下列成立的是（ ）).1 ,21, 0(),1 , 1 ,21(FE.),(的法向量是平面BDEFzyxn ) 1 ,21, 0(),0 , 1 , 1 (,DFDBDFnDBn由0210zyDFnyxDBn.21yzyx)21, 1 , 1(, 1ny得.23)21)(1(10) 1)(1(),1, 0 , 1(1nADDA. 1222,cos|.2223223|,cos,23)21(1) 1(| ,2) 1() 1(|111111112222221HADADAHAnDAnDAHADAnODA又Acos|vv B|cos|vv Csin| |vv D|sin| |vv2 【答案】D 【解析】若直线与平面所成的角为，直线与该平面的法向量所成的角为，则903已知平面内有一个点 A（2，1，2） ，的一个法向量为 n=（3，1，2） ，则下列点 P 中，在平面内的是（ ） A （1，1，1） B （1，3，32） C （1，3，32） D （1，3，32）3 【答案】B 【解析】对于选项 A，(1,0,1)PA ，则(1,0,1) (3,1,2)50PA n ，故排除 A；对于选项 B，11, 4,2PA ，则11, 4,(3,1,2)02PA n ，故 B 正确，故选 B。4 P 是 二 面 角AB棱 上 的 一 点 ， 分 别 在、半 平 面 上 引 射 线 PM 、 PN ， 如 果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角的大小为（ ） A60 B70 C80 D904 【答案】D 【解析】 不妨设 PM=a，PN=b，作 MEAB 于点 E，NFAB 于点 F，如图:BPM=BPN=45，2aPE ，2bPF ，() ()EM FNPMPEPNPFPM PNPM PFPE PNPE PF cos60cos45cos452222baababab0