1、1.1.掌握双曲线的第二定义掌握双曲线的第二定义; ;2.2.掌握双曲线的准线方程掌握双曲线的准线方程; ;3.3.进一步理解离心率的几何意义进一步理解离心率的几何意义; ;4.4.能运用双曲线的几何性质解决能运用双曲线的几何性质解决 一些简单的问题一些简单的问题. .关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA2B2A1B1.F1F2yB2A1A2 B1 xO.F2F1)0( 1babyax2 22 22 22 2bybaxa A1（- a，0），），A2（a，0）B1（0，-b），），B2（0，b）) 10( eaceF1(-c,0) F2(c,0)F1
2、(-c,0)F2(c,0),b(abyax00 1 2 22 22 22 2Ryaxax， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称A1（- a，0），），A2（a，0）) 1( eace渐进线无无xaby关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO
3、.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby问：若定义中的问：若定义中的0e1， 这时点的轨迹又是什么呢？这时点的轨迹又是什么呢？一一个个定定点点的的距距平面内与平面内与离离和和它它到到一一条条定定直直线线的的距距离离 的的比比是是常常数数)10( eace的的点点的的轨轨迹迹。椭圆的第二定义椭圆的第二定义:2()( 0):(0).aM xyF cl xcccaMa例：点， 与定点，的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹dMl解：设 是点到直线 的距离，则由题意知acdMF|.|)(222accaxy
4、cx即化简. )()(22222222acayaxac，则设222bac12222byax方程化为)0, 0(ba.22的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点baMxyl l.FFOMd.双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：1、定点、定点双曲线的双曲线的焦点焦点；定直线定直线双曲线的双曲线的准线准线；定值定值e双曲线的双曲线的离心率离心率。(1).MFcleea 动点与一个定点 的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是双曲线2、双曲线与准线位置关系：、双曲线与准线位置关系：20axac 3、焦点到准线的距离：、焦点到准线的距离：xyl l.FFOMd.cb2。对应的右准线方程是
5、：，右焦点，、对于双曲线caxcFbyax222222),0(11。对应的左准线方程是：，左焦点caxcF21),0(cayy2程是：轴上的双曲线的准线方焦点在说明：说明：2、离心率、离心率e的几何意义：双曲线上任一点到的几何意义：双曲线上任一点到焦点的距离与到相应准线距离的比。焦点的距离与到相应准线距离的比。221186436xyPP例：已知双曲线右支上一点 到右焦点的距离等于 ，求点 到双曲线左准线的距离。解：解：451 edPF：由双曲线的第一定义得24|2|21PFaPF：由双曲线的第二定义得6822bacba，10596|1ePFdxyl l.F2F1OPd.221222001020
6、1(0,0),0( ,0), (,)|,xyabFcabF cP xyPFexaPFexae例1：已知双曲线的焦点（）是双曲线右支上任意点，求证：，其中 为双曲线的离心率。证明：证明：cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得accaxPF201|aexPF01|:|整理得：由双曲线的第一定义得aexaPFPF0122|1 min2min|,|PFca PFcaxyl l.F2F1OPd.双曲线上任意点到其焦点的距离叫做双曲线的双曲线上任意点到其焦点的距离叫做双曲线的焦半径焦半径。22002212,10,0,xyP xyababF F已知点在双曲线上，分别为双曲线的左、右焦点：1020,P
7、PFexa PFexa若点 在右支上，则1020,PPFexaPFexa 若点 在左支上，则22002212,10,0,yxP xyababF F已知点在双曲线上，分别为双曲线的下、上焦点：1020,PPFeya PFeya若点 在上支上，则1020,PPFeyaPFeya 若点 在下支上，则2212121916xyF FPPFPFPx例2：双曲线的两个焦点为 , ，点 在双曲线上，若，则点 到 轴的距离。00,P xy解：不妨设在双曲线的右支上，则由焦半径公式得：100200553,333PFexaxPFexax2221212PFPFFF由题意知2036925x2200553310033xx
8、2025625yPx16点 到 轴的距离5例例2：以已知双曲线的虚轴为实轴，：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线，求证：共轭双曲线，求证：(1)双曲线和它的共轭双曲线双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线；有共同的渐近线；(2)双曲线和它的共轭双曲线双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上。的四个焦点在同一个圆上。YXA1A2B1B2F1F2oF2F1故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;证明证明:(1)设已知双曲线的方程是设已知双曲线的方程是:22221xyab渐近线为渐近线为0 xyab
9、则它的共轭双曲线方程是则它的共轭双曲线方程是:22221yxba渐近线为渐近线为:0yxba显然显然,它可化为它可化为0 xyab证明证明:(2)设已知双曲线的焦点为设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c), c=c22cab22cab 四个焦点四个焦点 , 在同一个圆在同一个圆12,F F12,FF2222xyab上性质性质:(1):(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. . (2)(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距( (焦点
10、不同焦点不同).).思考思考: :共轭双曲线与共渐近线双曲线的联系与区别共轭双曲线与共渐近线双曲线的联系与区别? ?共轭双曲线为共渐近线的双曲线共轭双曲线为共渐近线的双曲线; ;共渐近线的双曲线不一定是共轭的双曲线共渐近线的双曲线不一定是共轭的双曲线. .2222222222221212221211111,1,2 2xyyxabbaxyabe eeeee 双曲线的共轭双曲线是或写成，双曲线与共轭双曲线的离心率分别为则：小结：小结：1 1、双曲线的第一定义与第二定义是等价的。、双曲线的第一定义与第二定义是等价的。2 2、了解双曲线的准线、准线方程的概念。、了解双曲线的准线、准线方程的概念。3 3、理解双曲线的离心率的几何意义。、理解双曲线的离心率的几何意义。4 4、求双曲线方程要根据具体条件对待，确、求双曲线方程要根据具体条件对待，确定焦点的位置很重要。定焦点的位置很重要。
