第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（A）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（A）第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（A）第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单项选择题一、单项选择题1在正四面体PABC中，棱长为 2，且 E 是棱 AB 中点，则PE BC 的值为( )A1B1C3D732已知PA （2，1，3） ，PB （1，2，3） ，PC （7，6，） ，若 P，A，B，C 四点共面，则 （ ）A9B9C3D33下列说法正确的是（ ）A任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底abc， ，中基向量与基底efg， ，基向量对应相等4若直线l的方向向量为(1, 2,3)a ,平面的法向量为( 3,6, 9)n ,则( )AlB/lClDl与相交5.对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC ，则A，B，C，P四点（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D与O点位置有关6.已知(2, 3,1)a ，则下列向量中与a平行的是（ ）A(1,1,1)B(4,6,2)C(2,3,5)D(2,3,5)7.已知1,0,1ar，3,21,2br，其中，R，若/a b，则（ ）A0B1C2D38.已知点1,1,Att t，2, ,Bt t，则A ，B两点的距离的最小值为A3 1010B55C3 55D359. 已知三棱锥中，则异面直线，所成角为（ ）2ABCDBDAC2ADBCABCDABCD10.如图，正方形与正方形互相垂直，G 是的中点，则（ ）A与异面但不互相垂直B与异面且互相垂直C与相交但不互相垂直D与相交且互相垂直二、多项选择题二、多项选择题11.下列四个结论正确的是（ ）A任意向量a，b，若0a b ，则0a或0b或,2a b B若空间中点O，A，B，C满足1233OCOAOB ，则A，B，C三点共线C空间中任意向量, ,a b c 都满足a bcab c D已知向量1,1,ax，2, ,4bx ，若25x ，则, a b 为钝角12.正方体1111ABC DABCD的棱长为 2，M为11BC的中点，下列命题中正确的是（ ）A1AB与1BC成 60角B若113NCCN ，面1AMN交CD于点E，则13CE CP点在正方形11ABB A边界及内部运动，且1MPDB，则P点的轨迹长等于2DE，F分别在111,DB AC上，且1112AFDEEBFC，直线EF与1AD，1AD所成角分别是，则213. 设a，b，c是空间一个基底，则( )6342ABCDADEFAFBECGBECGBECGBECGA若ab，bc，则acB则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面C对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x，y，z)，使pxaybzc D则ab，bc，ca一定能构成空间的一个基底14. ）如图，在长方体1111ABCDABC D中，5AB ，4AD，13AA ，以直线DA，DC，1DD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A点1B的坐标为(4,5,3)B点1C关于点B对称的点为(5,8, 3)C点A 关于直线1BD对称的点为(0,5,3)D点C关于平面11ABB A对称的点为8,5,015. 如图，在正方体1111ABCDABC D中，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则（ ）A1D DAFB1/AG平面AEFC11110ACABA A D向量1ABuuu r与向量1AD 的夹角是60第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题三、填空题16. 在空间直角坐标系中，已知向量b与向量(212)a ， ，共线且满足方程18a b ，则向量b的坐标为_17.在正方体1111ABCDABC D中，已知1A Aa，11ABb ，11ADc，O为底面的ABCD的中心，G为11DC O的重心，则AG _.（用a，b，c表示AG）18.若(2, 3,5),( 3,1, 4)ab ，则2ab_19.已知空间向量2, 1,1 ,1,1,2ab，则ab_；向量a与b的夹角为_.20.在空间直角坐标系Oxyz中，已知( 1,0,2)A ，(0,1, 1)B，点,C D分别在x轴，y轴上，且ADBC，那么CD的最小值是_.四、简答题四、简答题21. 如图，2BC ，原点O是BC的中点，点A的坐标为3(2，12，0)，点D在平面yOz上，且90BDC，30DCB（1）求向量CD 的坐标（2）求AD与BC 的夹角的余弦值22.如图所示， 在长方体1111ABCDABC D中，1AD ，12ABAA，N、M分别是AB、1C D的中点（1）求证：NM平面11A ADD；（2）求证：NM 平面11AB M23. 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为棱 CC1的中点（1）证明：A1C平面 B1ED1；（2）求直线 B1D 与平面 B1ED1所成角的正弦值24. 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是正三角形，侧面 AA1C1C 是菱形，点 A1在平面 ABC 的射影为线段 AC 的中点 D，过点 B1，B，D 的平面 与棱 A1C1交于点E（1）证明：四边形 BB1ED 是矩形；（2）求二面角 ABB1E 的余弦值25. 如图，面 BCC1B1是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面） ，线段 AA1是该圆柱的一条母线，BC2AB，点 D 为 AA1的中点（1）当点 E 为棱 BC 的中点时，求证：AE平面 BC1D；（2）当轴截面 BCC1B1是边长为 2 的正方形时，求平面 BDB1与平面 BC1D 所成角的正弦值 第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（A）第一章 空间向量与立体几何单元提升卷（A）第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单项选择题一、单项选择题1在正四面体PABC中，棱长为 2，且 E 是棱 AB 中点，则PE BC 的值为( )A1B1C3D73【答案】A【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PABC可得：0PA BC E是棱AB中点()12PEPAPB=+uuu ruu u ruu u r()111122cos12012222PE BCPAPBBCPA BCPB BC=+=+= -ouuu r uuu ruu u ruu u ruuu ruu u r uuu ruu u r uuu r故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2已知PA （2，1，3） ，PB （1，2，3） ，PC （7，6，） ，若 P，A，B，C 四点共面，则 （ ）A9B9C3D3【答案】B【解析】由 P，A，B，C 四点共面，可得,PA PB PC 共面，(2,2 , 33 )(7,6, )xPAyPBxy xyCyPx ，272633xyxyxy，解得419xy .故选:B.3下列说法正确的是（ ）A任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底abc， ，中基向量与基底efg， ，基向量对应相等【答案】C【解析】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A错.B项，空间基底有无数个, 所以B错.D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C.4若直线l的方向向量为(1, 2,3)a ,平面的法向量为( 3,6, 9)n ,则( )AlB/lClDl与相交【答案】C 解析】直线 l 的方向向量为1, 2,3a ，平面的法向量为3,6, 9n ，13an ，an，l故选 C5.对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC ，则A，B，C，P四点（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D与O点位置有关【答案】B【解析】因为311488OPOAOBOC ，所以 6 OPOAOBOPOCOP ，所以6APPBPC ，即1166APPBPC ，故P，A ，B，C四点共面，故选：B.6.已知(2, 3,1)a ，则下列向量中与a平行的是（ ）A(1,1,1)B(4,6,2)C(2,3,5)D(2,3,5)【答案】B【解析】若( 4,6, 2)b ，则2 (2, 3,1)2ba ，所以/ab；而b为(1,1,1)、(2,3,5)、(2,3,5)时，不存在ba的关系.故选：B7.已知1,0,1ar，3,21,2br，其中，R，若/a b，则（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】 因为1,0,1ar，3,21,2br，/a b， 所以1132210 ， 解得12，因此1.故选：B.8.已知点1,1,Att t，2, ,Bt t，则A ，B两点的距离的最小值为A3 1010B55C3 55D35【答案】C【解析】因为点1,1,Att t，2, ,Bt t所以22222(1)(21)()522ABtttttt有二次函数易知，当15t 时，取得最小值为95 AB的最小值为3 55 故选：C.9. 已知三棱锥中，则异面直线，所成角为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意将图形补全成一个长、宽、高分别为 1，1，的长方体，再利用向量法即可得出答案.【详解】解 ： 如图所示，在一个长、宽、高分别为 1，1，的长方体中可以找到满足题意的三棱锥，ABCD2ABCDBDAC2ADBCABCD634233以 C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：，所以异面直线，所成角为.故选：B.10.如图，正方形与正方形互相垂直，G 是的中点，则（ ）A与异面但不互相垂直B与异面且互相垂直C与相交但不互相垂直D与相交且互相垂直【答案】A【解析】1,0, 3 ,1,1,0AB0,1,3AB 0,0,0 ,0,1, 3CD0,1, 3CD 21cos,2 22AB CDAB CDAB CD ABCD3ABCDADEFAFBECGBECGBECGBECG根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.【详解】解：因为，所以，所以与确定一个平面，所以，因为，所以与异面，因为正方形与正方形互相垂直，平面平面，平面且，所以平面，又，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为 1，则，所以，因为，所以与不垂直，即与不互相垂直，故选：A.二、多项选择题二、多项选择题11.下列四个结论正确的是（ ）A任意向量a，b，若0a b ，则0a或0b或,2a b B若空间中点O，A，B，C满足1233OCOAOB ，则A，B，C三点共线C空间中任意向量, ,a b c 都满足a bcab c D已知向量1,1,ax，2, ,4bx ，若25x ，则, a b 为钝角BECGBECG/ /ADBC/ /ADEF/ /BCEFBCEFBE,CGBECGABCDADEFABCDADEFADDE ADEFDEADDE ABCDDCADDxyz1,1,0B0,0,1E0,1,0C11,0,2G11, 1,1 ,1, 1,2BECG 111 1111022BE CG BE CG BECG【答案】AB【分析】由向量的数量积为0即可判断选项 A；由向量共线定理可判断 B；向量的数量积运算不满足结合律判断 C； 利用向量求夹角公式判断出当, a b 为钝角或180时，25x ，即可判断选项 D.【详解】对于选项 A：若0a b ，则0a或0b或0a b ，即0a或0b或,2a b ，选项 A 正确；对于选项 B：由1233OCOAOB ，因为12133，所以A，B，C三点共线，选项 B 正确；对于选项 C：向量的数量积运算不满足结合律，选项 C 不正确；对于选项 D：2224cos,2416a bxxa ba bxx ，当, a b 为钝角或180时，2224cos,02416a bxxa ba bxx ，解得：25x ，故若25x ，则, a b 为钝角或180.选项 D 不正确；故选：AB.【点睛】易错点睛：注意0a b ，向量a，b不一定垂直；0a b ，两向量a，b的夹角不一定为钝角.12.正方体1111ABC DABCD的棱长为 2，M为11BC的中点，下列命题中正确的是（ ）A1AB与1BC成 60角B若113NCCN ，面1AMN交CD于点E，则13CE CP点在正方形11ABB A边界及内部运动，且1MPDB，则P点的轨迹长等于2DE，F分别在111,DB AC上，且1112AFDEEBFC，直线EF与1AD，1AD所成角分别是，则2【答案】ACD【分析】如图，建立空间直角坐标系，对于选项A，利用向量法求出1AB与1BC成 60角，所以该选项正确；对于选项B，求出23CE ，所以选项B错误；对于选项C，点P的轨迹长为线段1(12)yzy 的长度为2，所以选项C正确；对于选项D，求出2，所以该选项正确.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(2,0,2)A，(2,2,2)B，(0,2,2)C，(0,0,2)D，1(2,0,0)A，1(2,2,0)B，1(0,2,0)C，1(0,0,0)D，(1,2,0)M对于选项A，1(0,2, 2)AB ，1( 2,0, 2)BC ，11111141cos,22 22 2AB BCAB BCAB BC ，1AB与1BC成 60角，所以选项A正确；对于选项B，113NCCN ，30,2,2N，设(0,2)Em，则1( 1,2,0)AM ，132,2,2A N ，1( 2,2)mAE ，由已知得1A，M，N，E四点共面，,R ，使得111ANAAEM ，得122 ,22,302 ,2m 解得2,3,24,3m 40,23E，20,03CE ，23CE ，所以选项B错误；对于选项C，设(2, , )(02,02)Py zyz ，则1(1,2, ),(2,2, 2)yz DBMP ，由122420yDBzMP ，得1yz点P的轨迹长为线段1(12)yzy 的长度为2，所以选项C正确；对于选项D，E，F分别在111,DB AC上，且1112AFDEEBFC，1224 44(2,2, 2),333 33DDBE，111224 4( 2,2,0),0333 3ACAF ，则4 4 22 4,03 3 33 3EF，则22,0,33EF ，则122448333coscos,12 2222 244333EF D A ，故0，1224433coscos,0224433EF DA ，故2，即2，故选项D正确故选：ACD13. 设a，b，c是空间一个基底，则( )A若ab，bc，则acB则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面C对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x，y，z)，使pxaybzc D则ab，bc，ca一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】对于 A 选项，b与, a c 都垂直，, a c 夹角不一定是2，所以 A 选项错误.对于 B 选项，根据基底的概念可知a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面.对于 C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于 D 选项，由于a，b，c是空间一个基底，所以a，b，c不共面.假设ab，bc，ca共面，设1abx bcxca，化简得1x axbc，即1cx ax b，所以a，b，c共面，这与已知矛盾，所以ab，bc，ca不共面，可以作为基底.所以 D 选项正确.故选：BCD14. ）如图，在长方体1111ABCDABC D中，5AB ，4AD，13AA ，以直线DA，DC，1DD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A点1B的坐标为(4,5,3)B点1C关于点B对称的点为(5,8, 3)C点A 关于直线1BD对称的点为(0,5,3)D点C关于平面11ABB A对称的点为8,5,0【答案】ACD【解析】根据题意知：点1B的坐标为(4,5,3)，选项 A 正确；B的坐标为(4,5,0)，1C坐标为0,5,3，故点1C关于点B对称的点为8,5, 3，选项 B 错误；在长方体中22115ADBCADAAAB，所以四边形11ABC D为正方形，1AC与1BD垂直且平分，即点A 关于直线1BD对称的点为10,5,3C，选项 C 正确；点C关于平面11ABB A对称的点为8,5,0，选项 D 正确；故选：ACD.15. 如图，在正方体1111ABCDABC D中，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则（ ）A1D DAFB1/AG平面AEFC11110ACABA A D向量1ABuuu r与向量1AD 的夹角是60【答案】BC【解析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABC D的棱长为2，则2,0,0A、2,2,0B、0,2,0C、0,0,0D、1,2,0E、0,2,1F、2,2,1G、12,0,2A、12,2,2B、10,2,2C、10,0,2D.对于 A 选项，10,0,2DD ，2,2,1AF ，则120DDAF ，故 A 选项错误；对于 B 选项，设平面AEF的法向量为, ,mx y z ，1,2,0AE ，1,0,1EF ，由200m AExym EFxz ，可得2xyzx，取2x ，可得2,1,2m ，10,2, 1 AG，1220m AG ，1mAG ，1AG 平面AEF，1/AG平面AEF，故 B 选项正确；对于 C 选项，10,2,2AB ，12,2, 2AC ，111111440ABCABAACA A ，故 C 选项正确；对于 D 选项，10,2, 2AB ，12,0,2AD ，11111141cos,22 22 2AB ADAB ADABAD ，所以，向量1ABuuu r与向量1AD 的夹角是120，故 D 选项错误.故选：BC.第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题三、填空题16. 在空间直角坐标系中，已知向量b与向量(212)a ， ，共线且满足方程18a b ，则向量b的坐标为_【答案】( 4 24)， ，【解析】设ba，R，由数量积运算可得2 ，进而可得坐标.【详解】b与a共线，故可设ba，R，由18a b 得：22|( 4 14)918aaa ，故2 ，2( 4 24)ba ， ，故答案为：( 4 24)， ，.17.在正方体1111ABCDABC D中，已知1A Aa，11ABb ，11ADc，O为底面的ABCD的中心，G为11DC O的重心，则AG _.（用a，b，c表示AG）【答案】215326abc【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则化简计算即可【详解】解：在正方体1111ABCDABC D中，11111,A Aa ABb ADc，O为底面ABCD的中心，G为11DC O的重心，AGAOOG1111()()23ABADODOC 1111 11() ()()23 22bcBABCDDABADCC 11111()()()26363bcbcabca 215326abc故答案为：215326abc18.若(2, 3,5),( 3,1, 4)ab ，则2ab_【答案】258【解析】因为(2, 3,5),( 3,1, 4)ab 所以2(8, 5,13)ab，所以22228( 5)13258ab 故答案为：25819.已知空间向量2, 1,1 ,1,1,2ab，则ab_；向量a与b的夹角为_.【答案】3 2 060 【解析】由2, 1,1 ,1,1,2ab，则3,0,3ab，所以2223033 2ab，2 111 1 21cos,24 1 11 14a ba ba b ，所以向量a与b的夹角为060.故答案为：3 2；06020.在空间直角坐标系Oxyz中，已知( 1,0,2)A ，(0,1, 1)B，点,C D分别在x轴，y轴上，且ADBC，那么CD的最小值是_.【答案】2【分析】设(C x，0，0)，(0D，y，0)，则(1, , 2)ADy，( , 1,1)BCx，由20AD BCxy，知2xy所以2|2( +1)2CDy，由此能求出其最小值【详解】设(C x，0，0)，(0D，y，0)，( 1A ，0，2)，(0B，1，-1)，(1, , 2)ADy，( , 1,1)BCx，ADBC，20AD BCxy，即2xy(, ,0)CDx y ，22|CDxy22(2+ )yy2244yy22( +1)2y2 （当1y 时取最小值）故答案为：2四、简答题四、简答题21. 如图，2BC ，原点O是BC的中点，点A的坐标为3(2，12，0)，点D在平面yOz上，且90BDC，30DCB（1）求向量CD 的坐标（2）求AD与BC 的夹角的余弦值【答案】 （1）33(0,)22； （2）105.【解析】 （1）过D作DEBC于E，则3sin302DECD ，11cos60122OEOBBD ，所以D的坐标为13(0,)22D，又因为(0,1,0)C，所以33(0,)22CD （2）依题设有A点坐标为3 1(,0)22A，所以33(, 1,)22AD ，(0,2,0)BC ，则AD与BC 的夹角的余弦值为10cos,5AD BCAD BCAD BC 22.如图所示， 在长方体1111ABCDABC D中，1AD ，12ABAA，N、M分别是AB、1C D的中点（1）求证：NM平面11A ADD；（2）求证：NM 平面11AB M【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】证明： （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCDABC D中，1AD ，12ABAA，N、M分别是AB、1C D的中点，(0M，1，1)，(1N，1，0)，(1 MN，0，1)，平面11A ADD的法向量可设为(0n ，1，0)，0 MN n，MN 平面11A ADD，MN平面11A ADD（2）1(1A，0，2)，1(1B，2，2)，11(0AB ，2，0)，1( 1AM ，1，1)，110MN AB ，10MN AM ，11MNAB，1MNAM，1111ABAMA，NM平面11AB M23. 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为棱 CC1的中点（1）证明：A1C平面 B1ED1；（2）求直线 B1D 与平面 B1ED1所成角的正弦值【解题思路】 （1） 连接 A1C1与 B1D1相交于 O1， 连接 EO1， 证明 EO1A1C， 推出 A1C平面B1ED1（2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面 B1ED1的法向量，利用空间向量的数量积求解 B1D 与面 B1ED1所成角的正弦值即可【解答过程】 （1）证明：连接 A1C1与 B1D1相交于 O1，连接 EO1，由于 E，O1分别是 CC1，A1C1的中点，则 EO1A1C，因为 EO1平面 B1D1E，A1C平面 B1D1E，所以 A1C平面 B1ED1（2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 AB1，AA12，则 B1（1，1，2） ，D（0，0，0） ，E（0，1，1） ，D1（0，0，2） ，1= (1，1，2)，11= (1，1，0)，1 = (0，1， 1)，设 = (，)是面 B1ED1的法向量 11= 0 1 = 0 + = 0 = 0，令 x1，则 y1，z1，即 = (1， 1， 1)，设 B1D 与面 B1ED1所成角为 = |1，| =|1|1| |=26 3=23，B1D 与面 B1ED1所成角的正弦值为2324. 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是正三角形，侧面 AA1C1C 是菱形，点 A1在平面 ABC 的射影为线段 AC 的中点 D，过点 B1，B，D 的平面 与棱 A1C1交于点E（1）证明：四边形 BB1ED 是矩形；（2）求二面角 ABB1E 的余弦值【解题思路】 （1）连接 B1E，DE，利用线面平行的判定定理证明 B1B平面 A1ACC1，由线面平行的性质定理证明 B1BDE，即可证明四边形 BB1ED 为平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明 BD平面 ACC1A1，从而得到 BDDE，即可证明四边形 BB1ED 为矩形；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面 DBB1E 和平面 ABB1A1的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可【解答过程】解： （1）连接 B1E，DE，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 A1ABB1为平行四边形，所以 B1BA1A，因为 B1B平面 A1ACC1，A1A平面 A1ACC1，所以 B1B平面 A1ACC1，因为 B1B平面 BB1D，且平面 BB1D平面 A1ACC1DE，所以 B1BDE，因此 A1ADE，因为点 D 是 AC 的中点，所以 E 为 A1C1中点，所以 B1BDE，所以四边形 BB1ED 为平行四边形，在正ABC 中，因为 D 是 AC 的中点，所以 BDAC，由题意可知，A1D平面 ABC，又 BD，BC平面 ABC，所以 A1DBD，A1DAC，又 ACA1DD，所以 BD平面 ACC1A1，又 DE平面 ACC1A1，则 BDDE，故四边形 BB1ED 为矩形；（2）由（1）可知，DB，AC，A1D 两两垂直，以 DB，AC，A1D 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设 AD1，则 =3，在AA1D 中，AA12AD，A1DA90，所以1 =3，故 D（0，0，0） ，A（0，1，0） ，1(0，0，3)，(3，0，0)，所以 = (3，1，0)， = (3，0，0)，1=1= (0，1，3)，设平面 DBB1E 的法向量为 = (，)，则 = 0 1= 0，即3 = 0 +3 = 0，令 c1，则 = (0，3， 1)，设平面 ABB1A1的法向量为 = (，)，则 = 0 1= 0，即3 + = 0 +3 = 0，令 x1，则 = (1， 3，1)，设二面角 ABB1E 的大小为 ，由图可知 (0，2)，则 = |，| =42 5=2 55，故所求二面角 ABB1E 的余弦值为2 5525. 如图，面 BCC1B1是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面） ，线段 AA1是该圆柱的一条母线，BC2AB，点 D 为 AA1的中点（1）当点 E 为棱 BC 的中点时，求证：AE平面 BC1D；（2）当轴截面 BCC1B1是边长为 2 的正方形时，求平面 BDB1与平面 BC1D 所成角的正弦值【解题思路】 （1）取 BC1的中点 F，连接 AE，EF，DF，证明四边形 EFDA 为平行四边形，可得 AEDF，由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面 BDB1的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可【解答过程】 （1）证明：取 BC1的中点 F，连接 AE，EF，DF，因为 E，F 分别为 BC，BC1的中点，所以 EFCC1，EF =12CC1，AD =12AA1=121，ADCC1，所以 EFAD，EFAD，故四边形 EFDA 为平行四边形，所以 AEDF，又 AE平面 BC1D，DF平面 BC1D，故 AE平面 BC1D；（2）解：由圆柱的性质可知，ABAC，AA1AB，AA1AC，故以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为轴截面 BCC1B1是边长为 2 的正方形且 BC2AB，故 AB1，AC =2 2=3，所以(0，1，0)，1(3，0，2)，1(0，1，2)，(0，0，1)，A（0，0，0） ，故 = (0， 1，1)，1= (3， 1，2)，设平面 BC1D 的法向量为 = (，)，则 = + = 0 1=3 + 2 = 0，令 z1，则 = ( 33，1，1)，平面 BDB1的一个法向量为 = (3，0，0)，所以|，| =| |=13 13+ 1 + 1=77，则平面 BDB1与平面 BC1D 所成角的余弦值为77，故平面 BDB1与平面 BC1D 所成角的正弦值为 1 (77)2=427