1、2.5.1 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系“大漠孤烟直，长河落日圆大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代，这是唐代诗人王维的诗句它描述了黄昏日落时分塞诗人王维的诗句它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象外特有的景象从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？情境引入情境引入(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点.(3)直线和圆没有公共点时, 叫做
2、直线和圆相离.1.直线与圆的位置关系的定义探究新知探究新知AAB相交相切 上述变化过程中，除了交点个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用利用这种变化关系来判定直线与圆的位置关系？2.探究：直线与圆的位置关系的判定探究新知探究新知相离AOlABOlOl 设点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则：位置关系数量关系3.回顾: 点与圆的位置关系判定点在圆上 d=r探究新知探究新知OA BC点在圆外 dr点在圆内 dr直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系: :思考：思考：如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？位置关系位置关系相离相离相切相
3、切相交相交图形图形d与与r的关系的关系dr交点个数交点个数2个个1个个0个个探究新知探究新知rdrdrd判定直线与圆的位置关系的方法有_种：(1)根据定义，由 的个数来判断(代数法）(2)根据性质, 由 的关系来判断 (几何法)两两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r探究新知探究新知联立方程组，消元得到一个一元二次方程组(3)直线直线x+2y-1=0和圆和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为的位置关系为_相交相交1.(1)直线直线x+y-2=0与圆与圆x2+y2=2的位置关系为的位置关系为_相切相切(2)直线直线x-y-2=0与圆与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为的位置
4、关系为_相离相离小试牛刀小试牛刀30 xym2.直线直线 与圆与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数相切，则实数m等于等于( )3333.333.333.33.或或或或DCBAC3.若过点若过点A(3,0)的直线的直线l与圆与圆(x-1)2+y2=1有公共点有公共点,则直线则直线l的斜的斜率可能是率可能是( )2.31.33.1.DCBABC例例1 已知直线已知直线l: 3x+y-6=0 和圆心为和圆心为C的圆的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆被圆C所截得的弦长所截得的弦长典例分析典例分析OCBAryxd分析
5、：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长例例1 已知直线已知直线l: 3x+y-1=0 和圆心为和圆心为C的圆的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆被圆C所截得的弦长所截得的弦长典例分析典例分析OCBAryxd221,360240lCxyxyy 解解法法 ： 联联立立直直线线 与与圆圆 的的方方程
6、程 得得 212,320,2,1.yxxxx消消去去得得解解得得,.lC所所以以 直直线线 与与圆圆 相相交交 有有两两个个公公共共点点12122,1,0,3.xxyy把把分分别别代代入入方方程程 得得,(2,0),(1,3).lCAB所所以以 直直线线 与与圆圆 的的两两个个交交点点是是22(12)(30)10AB10.lC故故 与与圆圆 所所截截得得的的弦弦长长为为例例1 已知直线已知直线l: 3x+y-1=0 和圆心为和圆心为C的圆的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆被圆C所截得的弦长所截得的弦长典例分析典
7、例分析OCBAryxd22222240(1)5,(0,1),5,CxyyxyC解解法法 ： 圆圆 的的方方程程可可化化为为因因此此圆圆心心 的的坐坐标标为为半半径径为为223 0165(0,1)51031Cld 圆圆心心到到直直线线 的的距距离离,lC所所以以直直线线 与与圆圆 相相交交 有有两两个个公公共共点点22,210.ABrd由由垂垂径径定定理理 得得10.lC故故 与与圆圆 所所截截得得的的弦弦长长为为 (1)几何法：几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边222-ABrd直线与圆相交时弦长的求法：直线与圆相交时弦长的求法：xyOABdr(3)代数法：不算出两交点，设而不
8、求代数法：不算出两交点，设而不求222121212114 ABkxxkxxx x22212121211114AByyyyyykk垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧.探究新知探究新知由垂径定理，得由垂径定理，得(2)代数法：计算出两交点代数法：计算出两交点221212 ABxxyy解：设圆心O(0,0)到直线的距离为d，则21221 ( 1)d 22| 214ABrdxyOABdr小试牛刀小试牛刀1. 已知直线已知直线l: y=x+1 和圆和圆O: x2+y2=4 相交于相交于A,B两点，求弦长两点，求弦长|AB|的值的值. 故弦长|AB|的值为 . 1422 2-几何法：
9、 ABrd另解：xyOAB1.已知直线已知直线l: y=x+1 和圆和圆O: x2+y2=4 相交于相交于A,B两点，求弦长两点，求弦长|AB|的值的值. 222122304 由，消去 ，得yxyxxxy221212|(1)()4ABkxxx x1122( ,), (,)设，则A x yB x y121231, 2 由韦达定理，得xxx x223(11 )( 1)4()142 故弦长|AB|的值为 . 1422121 2|1()4代数法：ABkxxx x 小试牛刀小试牛刀15观察图象，有无交点，有几个.直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解，有几个解判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的
10、关系(大于、小于、等于)判断直线与圆的位置关系方法归纳：22(2,1):12,PO xyll过过求求切切线线点点作作圆圆的的切切线线例例的的方方程程. .22,(2,1):1,1(2),.PO xyyk xkk分分析析： 如如图图 容容易易知知道道 点点位位于于圆圆外外 经经过过圆圆外外一一点点有有两两条条直直线线与与这这个个圆圆相相切切. .我我们们设设切切线线方方程程为为是是斜斜率率 由由直直线线与与圆圆相相切切可可求求出出 的的值值1,1(2),120,lklyk xkxyk 解解法法 ： 设设切切线线 的的斜斜率率为为则则切切线线 的的方方程程为为即即2(0,0)1,1241,031l
11、kkk 由由圆圆心心到到切切线线 的的距距离离等等于于圆圆的的半半径径得得解解得得或或,1,4350.lyxy因因此此 所所求求切切线线 的的方方程程为为或或典例分析典例分析OPyx22(2,1):12,PO xyll过过求求切切线线点点作作圆圆的的切切线线例例的的方方程程. .典例分析典例分析OPyx2,1(2),lklyk x解解法法 ： 设设切切线线 的的斜斜率率为为则则切切线线 的的方方程程为为22,1(2).1lyk xxy 因因为为直直线线 与与圆圆相相切切 所所以以方方程程组组只只有有一一组组解解2222,(1)(24)440kxkkxkk消消元元 得得222,4(12 )16
12、(1)(1)0kkk kk因因为为方方程程只只有有一一组组解解 所所以以40,3,1,4350.klyxy 解解得得或或所所以以 所所求求切切线线 的的方方程程为为或或思考：思考：如何求过一点如何求过一点P的圆的切线方程？的圆的切线方程？先判断点先判断点P与圆的位置关系与圆的位置关系若点若点P在圆上，切线有一条在圆上，切线有一条 若点若点P在圆外，切线有两条在圆外，切线有两条点点P在圆上时在圆上时: 先求切点与圆心连线的斜率先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切，再由垂直关系得切线的斜率为线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程由点斜式可得切线方程如果如果斜率为零或不存在斜率为零或不存在，则由
13、图形可直接得则由图形可直接得切线方程切线方程 y=y0或或 x=x0.1k 点点P在圆外时在圆外时:(1)几何法几何法: 设切线方程为设切线方程为y- -y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，由圆心到直线的距离等于半径，可求得可求得k，也就是切线方程，也就是切线方程.(2)代数法代数法: 设切线方程为设切线方程为y- -y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去与圆的方程联立，消去y后得到后得到关于关于x的一元二次方程，由的一元二次方程，由=0求出求出k，可得切线方程，可得切线方程.特别注意特别注意: 切线的斜率不存在的情况，不要漏解切线的斜率不存在的情况，不要漏解. 2.过点过点
14、P(1,2)作圆作圆O: x2+y2=1的切线的切线l, 求此切线求此切线l的方程的方程.小试牛刀小试牛刀OPyx解：解：即即kx-y+2-k=0由圆心由圆心(0,0)到切线到切线l的距离等于圆的半径的距离等于圆的半径1,得得设切线设切线l的方程为的方程为y-2=k(x-1),当切线当切线l的斜率存在时的斜率存在时,此时，切线此时，切线l的方程为的方程为3x-4y+5=0.当切线当切线l的斜率不存在时的斜率不存在时,2|2|11-kk 解解得得34k 此时直线此时直线x=1也符合题意也符合题意. .AOB2A2P1A3A4AP坐标系的选择坐标系的选择典例分析典例分析2220m,4m,.3,.(
15、0.m041m)ABOPA P右右图图是是某某圆圆拱拱形形桥桥一一孔孔圆圆拱拱的的示示意意图图 圆圆拱拱跨跨度度建建造造时时每每间间隔隔需需要要一一根根支支柱柱支支撑撑 求求支支柱柱的的高高度度 精精确确到到例例拱拱高高yxx2+(y-b)2=r2建立适当的直角坐标系，可以简化运算过程.若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴对称轴为坐标轴坐标轴.常选特殊点特殊点作为直角坐标系的原点原点.尽量使已知点位于坐标轴上已知点位于坐标轴上.建立平面直角坐标系应遵循的原则建立平面直角坐标系应遵循的原则2222.54,A PP 分分析析： 建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系 要要得得到到支支柱柱
16、的的高高度度只只需需求求出出点点 的的纵纵坐坐标标. .,.ABxOy解解：建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系 使使线线段段所所在在直直线线为为 轴轴为为坐坐标标原原点点 圆圆心心在在 轴轴上上AOB2A2P1A3A4APyx2220m,4m,.3,.(0.m041m)ABOPA P右右图图是是某某圆圆拱拱形形桥桥一一孔孔圆圆拱拱的的示示意意图图 圆圆拱拱跨跨度度建建造造时时每每间间隔隔需需要要一一根根支支柱柱支支撑撑 求求支支柱柱的的高高度度 精精确确到到例例拱拱高高典例分析典例分析,(0,4),(10,0).P B由由题题意意 点点的的坐坐标标分分别别为为222(0, ),(
17、).brxybr设设圆圆心心坐坐标标是是圆圆的的半半径径是是那那么么圆圆的的方方程程是是 .br下下面面确确定定 和和 的的值值2210.514.5br 解解得得222,(10.5)14.5 .xy所所以以 圆圆的的方方程程是是22222222,( 2)(10.5)14.5 ,10.514.5( 2) ,(0,)PxyyPy 把把点点 的的横横坐坐标标代代入入圆圆的的方方程程 得得即即的的纵纵坐坐标标平平方方根根取取正正值值2214.5( 2)10.514.3610.53.86y 所所以以223.86 mA P答答： 支支柱柱的的高高度度约约为为222,(0, 4),(10, 0)().P B
18、xybr因因为为两两点点都都在在圆圆上上 所所以以它它们们的的坐坐标标都都满满足足方方程程222222,0(4) 10(0)brbr 于于是是 得得到到方方程程组组Oyx港口轮船例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离如图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直判断直线与圆的位置关系线与圆的位置关系，进而确定轮
19、船是否有触礁危险典例分析典例分析Oyx港口轮船22,4.xy这这样样 受受暗暗礁礁影影响响的的圆圆形形区区域域的的边边缘缘所所对对应应的的圆圆的的方方程程为为1,34120.43xylxy轮轮船船航航线线所所在在直直线线 的的方方程程为为即即2234120,4xylOxy 联联立立直直线线 与与圆圆 的的方方程程 得得2,2572800yxx消消去去得得2( 72)4 25 800,. 由由可可知知方方程程组组无无解解所以直所以直线线l与圆与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险,Ox解解： 以以小小岛岛的的中中心心为为原原点点东东西西方方向向为为 轴轴 建建
20、立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系. .,10 km,(0,3),(4,0).为为了了运运算算的的简简便便 我我们们取取为为单单位位长长度度 则则港港口口所所在在位位置置的的坐坐标标为为轮轮船船所所在在位位置置的的坐坐标标为为 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、素：点、 直线、直线、 圆，圆，将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题；然后通过代数；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论这就是用坐标法解决平面几何问题的问题的结论这就是用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、几何要素，如点、 直线、直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果第三步：把代数运算的结果 “翻译翻译” 成几何结论成几何结论
