1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.4 基本不等式及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解基本不等式的证明过程 . 2.会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 . 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档 . 1基本不等式： ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： a0， b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2 b2 2ab(a， b R) (2)ba ab 2(
2、a， b 同号 ) (3)ab ? ?a b2 2 (a， b R) (4)a2 b22 ?a b22 (a， b R) 以上不等式等号成立的条件均为 a b. 3算术平均数与几何平均数 设 a0， b0， 则 a， b 的算术平均数为 a b2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0， y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有最 小 值 2 p.(简记：积定和最小 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy
3、有最 大 值 p24.(简记：和定积最大 ) 知识拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立 ?f(x)minA(x D)； 若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)A成立 ?f(x)maxA(x D)； 若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 恰在区间 D 上成立 ?f(x)A 的解集为 D； 不等 式 f(x)0 且 y0” 是 “ xy yx2” 的充要条件 ( ) (4)若 a0， 则 a3 1a2的最小值为 2 a.( )
4、 (5)不等式 a2 b22 ab 与 a b2 ab有相同的成立条件 ( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 ( ) 题组二 教材改编 2 P99 例 1(2)设 x0， y0，且 x y 18，则 xy 的最大值为 ( ) A 80 B 77 C 81 D 82 答案 C 解析 x0， y0， x y2 xy， 即 xy ? ?x y2 2 81，当且仅当 x y 9 时， (xy)max 81. 3 P100A 组 T2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是=【 ;精品教育资源文库 】 = _ m2. 答案 25 解析 设矩形的一边为 x m，
5、 则另一边为 12(20 2x) (10 x)m， y x(10 x) ? ?x ?10 x?2 2 25， 当且仅当 x 10 x，即 x 5 时， ymax 25. 题组三 易错自纠 4 “ x0” 是 “ x 1x2 成立 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当 x0 时， x 1x2 x 1x 2. 因为 x， 1x同号，所以若 x 1x2 ，则 x0， 1x0，所以 “ x0” 是 “ x 1x2 成立 ” 的充要条件，故选 C. 5设 x0，则函数 y x 22x 1 32的最小值为 ( ) A 0 B.12 C
6、1 D.32 答案 A 解析 y x 22x 1 32 ? ?x 12 1x 12 2 2 ? ?x 12 1x 12 2 0，当且仅当 x 12 1x 12，即 x 12时等号成立 函数的最小值为 0.故选 A. 6若正数 x， y 满足 3x y 5xy，则 4x 3y 的最小值是 ( ) A 2 B 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 4 D 5 答案 D 解析 由 3x y 5xy，得 3x yxy 3y 1x 5， 所以 4x 3y (4x 3y) 15? ?3y 1x 15? ?4 9 3yx 12xy 15(4 9 2 36) 5， 当且仅当 3yx 12xy ，即 y 2
7、x 时， “ ” 成立， 故 4x 3y 的最小值为 5.故选 D. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1 通过配凑法利用基本不等式 典例 (1)已知 01)的最小值为 _ 答案 2 3 2 解析 y x2 2x 1?x2 2x 1? ?2x 2? 3x 1 ?x 1?2 2?x 1? 3x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = (x 1) 3x 1 22 3 2. 当且仅当 x 1 3x 1，即 x 3 1 时，等号成立 命题点 2 通过常数代换法利用基本不等式 典例 (2017 河北衡水中学调研 )若 a0， b0， lg a lg b lg(a b)，则 a b 的最小值为( ) A
8、 8 B 6 C 4 D 2 答案 C 解析 由 lg a lg b lg(a b)，得 lg(ab) lg(a b)，即 ab a b，则有 1a 1b 1，所以a b ? ?1a 1b (a b) 2 ba ab2 2 ba ab 4，当且仅当 a b 2 时等号成立，所以 ab 的最小值为 4，故选 C. 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应 用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ” (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数 “
9、1” 代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值 跟踪训练 (1)若对 ? x1 ，不等式 x 1x 1 1 a恒成立，则实数 a的取值范围是 _ 答案 ? ? ， 12 解析 因为函数 f(x) x 1x 1 在 1， ) 上单调递增，所以函数 g(x) x 1 1x 1 2在 0， ) 上单调递增，所以函数 g(x)在 1， ) 上的最小值为 g(1) 12，因此对 ? x1 ，不等式 x 1x 1 1 a 恒成立，所以 a g(x)min 12，故实数 a 的取值范围是 ? ? ， 12 . (2)(2017 武汉模拟 )已知 正数 x， y 满足 x 2y xy 0，则
10、 x 2y 的最小值为 _ 答案 8 解析 由 x 2y xy 0，得 2x 1y 1，且 x0， y0. x 2y (x 2y) ? ?2x 1y 4yx xy 44 4 8， 当且仅当 x 2y 时等号成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型二 基本不等式的实际应用 典例 (2017 淄博质检 )某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时， C(x) 13x2 10x(万元 )当年产量不小于 80 千件时，C(x) 51x 10 000x 1 450(万元 )每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商
11、品能全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元 )关于年产量 x(千件 )的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.051 000 x 万元，依题意得当 00)经过圆 x2 y2 2y 5 0 的圆心，则 4b 1c的最小值是 ( ) A 9 B 8 C 4 D 2 答案 A 解析 圆 x2 y2 2y 5 0 化成标准方程为 x2 (y 1)2 6， 所以圆心为 C(0,1) 因为直线 ax by c 1 0 经过圆心 C， 所以 a0 b1 c 1 0，即 b c 1. 因此
12、 4b 1c (b c)? ?4b 1c 4cb bc 5. 因为 b， c0， 所以 4cb bc2 4cb bc 4. 当且仅当 4cb bc时等号成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由此可得 b 2c，且 b c 1， 即当 b 23， c 13时， 4b 1c取得最小值 9. (2)设等差数列 an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn(n N*)，若 a1 d 1，则 Sn 8an的最小值是_ 答案 92 解析 an a1 (n 1)d n， Sn n?1 n?2 ， Sn 8ann?1 n?2 8n 12?n 16n 1 12? ?2 n 16n 1 92， 当且仅当 n 4 时
13、取等号 Sn 8an的最小值是 92. 命题点 2 求参数值或取值范围 典例 (1)已知 a0， b0，若不等式 3a 1b ma 3b恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A 9 B 12 C 18 D 24 答案 B 解析 由 3a 1b ma 3b， 得 m( a 3b)? ?3a 1b 9ba ab 6. 又 9ba ab 62 9 6 12 ?当且仅当 9ba ab，即 a 3b时等号成立 ， m12 ， m 的最大值为 12. (2)已知函数 f(x) x2 ax 11x 1 (a R)，若对于任意的 x N*， f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 83， 解
14、析 对任意 x N*， f(x)3 恒成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 x2 ax 11x 1 3 恒成立，即知 a ?x 8x 3. 设 g(x) x 8x， x N*，则 g(2) 6， g(3) 173. g(2)g(3)， g(x)min 173 ， ? ?x 8x 3 83， a 83，故 a 的取值范围是 ? ? 83， . 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式 (或式子 )变形，然后利用基本不等式求解 (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 跟踪训练 (1)已知函数 f(x) x ax 2 的值域为 ( ， 04 ， ) ，则 a 的值是 ( ) A.12 B.32 C 1 D 2 答案 C 解析 由题意可得 a0， 当 x0 时， f(x) x ax 22 a 2，当且仅当 x a时取等号； 当 x0， y0，且 1x 2y 1，则 x y 的最小值是 _ (2)函数 y 1 2x 3x(x0， y0， 1 1x 2y2 2xy， xy2 2， x y2 xy 4 2， x y 的最小值为 4 2. (2)2 x 3x2 6
