1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.7 立体几何中的向量方法 (一 ) 证明平行与垂直 最新考纲 考情考向分析 1.理解直线的方向向量及平面的法向量 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 . 利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现 . 1直线 的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 非
2、零 向量作为它的方向向量 (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a， b 是平面 内两不共线向量， n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为? n a 0，n b 0. 2用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1 l2(或 l1与 l2重合 )?v1 v2. (2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l 或 l?存在两个实数 x， y，使 v xv1 yv2. (3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或 l? ?v u. (4)设平面 和 的法向量分别为 u1， u2，
3、则 ?u1 u2. 3用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1 l2?v1 v2?v1 v2 0. (2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l ?v u. (3)设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，则 ?u1 u2?u1 u2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组一 思考辨析 1判断 下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)直线的方向向量是唯一确定的 ( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的 ( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行 ( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两
4、直线不平行 ( ) (5)若 a b，则 a 所在直线与 b 所在直线平行 ( ) (6)若空间向量 a 平行于平面 ，则 a 所在直线与平面 平行 ( ) 题组二 教材改编 2 P104T2设 u， v 分别是平面 ， 的法向量， u ( 2,2,5)，当 v (3， 2,2)时， 与 的 位置关系为 _；当 v (4， 4， 10)时， 与 的位置关系为 _ 答案 解析 当 v (3， 2,2)时， u v ( 2,2,5)(3 ， 2,2) 0? . 当 v (4， 4， 10)时， v 2u? . 3 P111T3如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 是底面正方形 A
5、BCD 的中心， M 是 D1D的中点， N 是 A1B1的中点，则直线 ON， AM 的位置关系是 _ 答案 垂直 解析 以 A 为原点，分别以 AB ， AD ， AA1 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 设正方体的棱长为 1，则 A(0,0,0)， M? ?0， 1， 12 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = O? ?12， 12， 0 ， N? ?12， 0， 1 ， AM ON ? ?0， 1， 12 ? ?0， 12， 1 0， ON 与 AM 垂直 题组三 易错自纠 4已知 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,1)，则下列向量是平面 A
6、BC 法向量的是 ( ) A ( 1,1,1) B (1， 1,1) C.? ? 33 ， 33 ， 33 D.? ?33 ， 33 ， 33 答案 C 解析 设 n (x， y， z)为平面 ABC 的法向量， 则? n AB 0，n AC 0，化简得? x y 0， x z 0， x y z.故选 C. 5直线 l 的方向向量 a (1， 3,5)，平面 的法向量 n ( 1,3， 5)，则有 ( ) A l B l C l 与 斜交 D l? 或 l 答案 B 解析 由 a n 知， n a，则有 l ，故选 B. 6已知平面 ， 的法向量分别为 n1 (2,3,5)， n2 ( 3,1
7、， 4)，则 ( ) A B C ， 相交但不垂直 D以上均不对 答案 C 解析 n1 n2，且 n1n 2 2( 3) 31 5( 4) 230 ， ， 既不平行，也不垂直 . 题型一 利用空间向量证明平行问题 典例 如图所示，平面 PAD 平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且 PA AD2， E， F， G 分别是线段 PA， PD， CD 的中点求证： PB 平面 EFG. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 平面 PAD 平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且 PA AD， AB， AP， AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，
8、AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， B(2， 0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0， 0,2)， E(0,0,1)， F(0,1,1)， G(1， 2,0) PB (2,0， 2)， FE (0， 1,0)， FG (1,1， 1)， 设 PB sFE tFG ， 即 (2,0， 2) s(0， 1,0) t(1,1， 1)， ? t 2，t s 0， t 2，解得 s t 2， PB 2FE 2FG ， 又 FE 与 FG 不共线， PB ， FE 与 FG 共面 PB?平面
9、EFG， PB 平面 EFG. 引申探究 若本例中条件不变，证明平面 EFG 平面 PBC. 证明 EF (0,1,0)， BC (0,2,0)， BC 2EF ， BC EF. 又 EF?平面 PBC， BC?平面 PBC， EF 平面 PBC， 同理可证 GF PC，从而得出 GF 平面 PBC. 又 EF GF F， EF， GF?平面 EFG， 平面 EFG 平面 PBC. 思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线=【 ;精品教育资源文库
10、】 = 的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算 跟踪训练 如图，在四面体 A BCD 中， AD 平面 BCD， BC CD， AD 2， BD 2 2， M 是 AD的中点， P 是 BM 的 中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ 3QC. 证明： PQ 平面 BCD. 证明 方法一 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点， OD， OP 所在直线分别为 y， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知， A(0， 2， 2)， B(0， 2， 0)， D(0
11、， 2， 0) 设点 C 的坐标为 (x0， y0， 0) 因为 AQ 3QC ， 所以 Q? ?34x0， 24 34y0， 12 . 因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2， 1) 又 P 为 BM 的中点，故 P? ?0， 0， 12 ， 所以 PQ ? ?34x0， 24 34y0， 0 . 又平面 BCD 的一个法向量为 a (0,0,1)，故 PQ a 0. 又 PQ?平面 BCD，所以 PQ 平面 BCD. 方法二 在线段 CD 上取点 F，使得 DF 3FC，连接 OF，同方法一建立空间直角坐标系，写出点 A， B， C 的坐标，设点 C 坐标为 (x0， y0， 0)
12、因为 CF 14CD ，设点 F 的坐标为 (x， y， 0)，则 (x x0， y y0， 0) 14( x0， 2 y0， 0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以? x 34x0，y 24 34y0，所以 OF ? ?34x0， 24 34y0， 0 . 又由方法一知 PQ ? ?34x0， 24 34y0， 0 ， 所以 OF PQ ，所以 PQ OF. 又 PQ?平面 BCD， OF?平面 BCD， 所以 PQ 平面 BCD. 题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点 1 证线面垂直 典例 如图所示，正三棱柱 (底面为正三角形的直三棱柱 )ABC A1B1C1的所有棱长都为 2
13、， D 为CC1的中点求证： AB1 平面 A1BD. 证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理，则存在实数 ， ，使 m BA1 BD . 令 BB1 a， BC b， BA c，显然它们不共面，并且 |a| |b| |c| 2， a b ac 0， bc 2，以它们为空间的一个基底， 则 BA1 a c， BD 12a b， AB1 a c， m BA1 BD ? ? 12 a b c， AB1 m (a c) ? ? ? 12 a b c 4? ? 12 2 4 0.故 AB1 m，结论得证 方法二 取 BC 的中点 O，连接 AO. =【
14、;精品教育资源文库 】 = 因为 ABC 为正三角形， 所以 AO BC. 因为在正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC 平面 BCC1B1， 且平面 ABC 平面 BCC1B1 BC， 所以 AO 平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1，以 O 为原点，分别以 OB， OO1， OA 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 B(1,0,0)， D( 1,1,0)， A1(0,2， 3)， A(0,0， 3)， B1(1,2,0) 设平面 A1BD 的法向量为 n (x， y， z)， BA1 ( 1,2， 3)， BD ( 2,1,0) 因为 n BA1 ， n BD ， 故? n BA1 0，n BD 0，即 ? x 2y 3z 0， 2x y 0， 令 x 1，则 y 2， z 3， 故 n (1,2， 3)为平面 A1BD 的一个法向量， 而 AB1 (1,2， 3)，所以 AB1 n，所以 AB1 n， 故 AB1 平面 A1BD. 命题点 2 证面面垂直 典例 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD 底面 ABCD，且 PA PD 22 AD，设 E， F 分别为 PC， BD 的中点 (1)求证： EF
