1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题 . 1平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 不
2、共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. 其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1)， |AB | ?x2
3、 x1?2 ?y2 y1?2. 3平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，其中 b 0.a， b 共线 ?x1y2 x2y1 0. 知识拓展 1若 a 与 b 不共线， a b 0，则 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，如果 x20 ， y20 ，则 a b?x1x2 y1y2. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( ) (3)平面
4、向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示 ( ) (4)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要 条件可表示成 x1x2 y1y2.( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 ( ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 ( ) 题组二 教材改编 2 P97 例 5已知 ?ABCD 的顶点 A( 1， 2)， B(3， 1)， C(5,6)，则顶点 D 的坐标为 _ 答案 (1,5) 解析 设 D(x， y)，则由 AB DC ，得 (4,1) (5 x,6 y)， 即? 4 5 x，1 6
5、 y， 解得 ? x 1，y 5. 3 P119A 组 T9已知向量 a (2,3)， b ( 1,2)，若 ma nb 与 a 2b 共线，则 mn _. 答案 12 解析 由向量 a (2,3)， b ( 1,2)， 得 ma nb (2m n,3m 2n)， a 2b (4， 1) 由 ma nb 与 a 2b 共线， 得 2m n4 3m 2n 1 ，所以 mn 12. 题组三 易错自纠 4设 e1， e2是平面内一组基底，若 1e1 2e2 0，则 1 2 _. 答案 0 5已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 AC ( 4， 3)，则向量 BC _. 答案 ( 7， 4) =
6、【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意得 AB (3,1)， BC AC AB ( 4， 3) (3,1) ( 7， 4) 6 (2016 全国 ) 已知向量 a (m,4)， b (3， 2)，且 a b，则 m _. 答案 6 解析 因为 a b，所以 ( 2) m 43 0，解得 m 6. 题型一 平面向量基本定理的应用 1在下列向量组中，可以把向量 a (3,2)表示出来的是 ( ) A e1 (0,0)， e2 (1,2) B e1 ( 1,2)， e2 (5， 2) C e1 (3,5)， e2 (6,10) D e1 (2， 3)， e2 ( 2,3) 答案 B 解析 方
7、法一 设 a k1e1 k2e2， A 选项， (3,2) (k2,2k2)， ? k2 3，2k2 2， 无解； B 选项， (3,2) ( k1 5k2,2k1 2k2)， ? k1 5k2 3，2k1 2k2 2， 解得 ? k1 2，k2 1. 故 B 中的 e1， e2可以把 a 表示出来； 同理， C， D 选项同 A 选项，无解 方法二 只需判断 e1与 e2是否共线即可，不共线的就符合要求 2 (2017 济南模拟 )如图，在 ABC 中， AN 13NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP mAB 211AC ，则实数 m 的值为 _ 答案 311 =【 ;精品教育资源文库
8、 】 = 解析 AN 13NC ， AC 4AN ， AD mAB 211AC mAB 811AN ， 又 P， B， N 三点共线， m 811 1，即 m 311. 思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 题型二 平面向量的坐标运算 典 例 (1)已知 a (5， 2)， b ( 4， 3)，若 a 2b 3c 0，则 c 等于 ( ) A.? ?1， 83
9、B.? ? 133 ， 83 C.? ?133 ， 43 D.? ? 133 ， 43 答案 D 解析 由已知 3c a 2b ( 5,2) ( 8， 6) ( 13， 4) 所以 c ? ? 133 ， 43 . (2)(2017 北京西城区模拟 )向量 a， b， c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c a b( ， R)，则 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 D 解析 以向量 a 和 b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 (设每个小正方形边长为 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 A(1， 1)， B(6,2)， C(5， 1)， a AO ( 1,1
10、)， b OB (6,2)， c BC ( 1， 3) c a b， ( 1， 3) ( 1,1) (6,2)， 即? 6 1， 2 3， 解得 2， 12， 4. 引申探究 在本例 (2)中，试用 a， c 表示 b. 解 建立本例 (2)解答中的平面直角坐标系，则 a ( 1,1)， b (6,2)， c ( 1， 3)，设b xa yc， 则 (6,2) x( 1,1) y( 1， 3) 即? x y 6，x 3y 2， 解得 ? x 4，y 2， 故 b 4a 2c. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先 求出向量的坐标，解题
11、过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 跟踪训练 (1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)， B( 1， 2)， C(3， 1)，且 BC 2AD ，则顶点 D 的坐标为 ( ) A.? ?2， 72 B.? ?2， 12 C (3,2) D (1,3) 答案 A 解析 设 D(x， y)， AD (x， y 2)， BC (4,3)， 又 BC 2AD ， ? 4 2x，3 2?y 2?， ? x 2，y 72， 故选 A. (2)已知平面向量 a (1,1)， b (1， 1)，则向量 12a 32b 等于 ( ) A ( 2， 1) B ( 2,1) C ( 1,0)
12、D ( 1,2) 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 12a ? ?12， 12 ， 32b ? ?32， 32 ， 故 12a 32b ( 1,2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型三 向量共线的 坐标表示 命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标 典例 已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 _ 答案 (3,3) 解析 方法一 由 O， P， B 三点共线，可设 OP OB (4 ， 4 )，则 AP OP OA (4 4,4 ) 又 AC OC OA ( 2,6)， 由 AP 与 AC 共线，得 (4 4)6 4
13、 ( 2) 0， 解得 34， 所以 OP 34OB (3,3)， 所以点 P 的坐标为 (3,3) 方法二 设点 P(x， y)，则 OP (x， y)，因为 OB (4,4)，且 OP 与 OB 共线，所以 x4 y4，即 x y. 又 AP (x 4， y)， AC ( 2,6)，且 AP 与 AC 共线， 所以 (x 4)6 y( 2) 0，解得 x y 3， 所 以点 P 的坐标为 (3,3) 命题点 2 利用向量共线求参数 典例 已知向量 a (1 sin ， 1)， b ? ?12， 1 sin ，若 a b，则锐角 _. 答案 45 解析 由 a b，得 (1 sin )(1
14、sin ) 12， cos 2 12， cos 22 或 cos 22 ， 又 为锐角， 45. 思维 升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用 “ 若 a (x1，y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1” 解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a( R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a即可得到所求的向量 =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 (1)(2017 北京海淀区模拟 )已知向量 a (1,1)，点 A(3， 0)，点 B 为直线 y 2x上的一个动点若 AB a，则点 B 的坐标为 _ 答案 ( 3， 6) 解析 设 B(x,2x)，则 AB (x 3,2x) AB a， x 3 2x 0，解得 x 3， B( 3， 6)
