1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.1 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3.理解向量的几何表示 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 主要考查平面向量的线性运算 (加法、减法、数乘向量 )及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题 中作为工具出现 . 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既
2、有 大小 ，又有 方向 的量；向量的大小叫做向量的 长度 (或称 模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位 长度的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量(共线向量 ) 方向 相同 或 相反 的非零向量 0 与任一向量 平行 或共线 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (3)交
3、换律： a b ba； (4)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a与 b的相反向量b 的和的运算 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 (6)| a| | |a|； (7)当 0 时， a 与 a 的方向 相同 ；当 0 时， a 与a 的方向 相反 ；当 0 时， a 0 (8) ( a) ( )a； (9)( )a a a； (10) (a b) a b 3.共线 向量定理 向量 a(a 0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a. 知识拓展 1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 A1A2
4、 A2A3 A3A4 ? A n 1An A1An ，特别地，一个封闭图形，首尾 连接而成的向量和为零向量 2若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 OP 12(OA OB ) 3.OA OB OC ( ， 为实数 )，若点 A， B， C 共线，则 1. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量 ( ) (2)|a|与 |b|是否相等与 a， b 的方向无关 ( ) (3)若 a b， b c，则 a c.( ) (4)若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A， B， C， D
5、 四点在一条直线上 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反 ( ) 题组二 教材改编 2 P86 例 4已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 OA a， OB b，则 DC _， BC _.(用 a， b 表示 ) 答案 b a a b 解析 如图， DC AB OB OA b a， BC OC OB OA OB a b. 3 P108B 组 T5在平行四边形 ABCD 中，若 |AB AD | |AB AD |，则四边形 ABCD 的形状为_ 答案
6、 矩形 解析 如图，因为 AB AD AC ， AB AD DB ，所以 |AC | |DB |. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形 题组三 易错自纠 4对于非零向量 a， b， “ a b 0” 是 “ a b” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 a b 0，则 a b，所以 a b. 若 a b，则 a b 0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件 5设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. 答案 12 解析 向量 a， b 不平行， a 2b 0，又向量
7、 a b 与 a 2b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a b (a 2b)成立，即 a b a 2 b，则? ，1 2 ， 解得 12. 6设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 12AB， BE 23BC.若 DE 1AB 2AC ( 1，=【 ;精品教育资源文库 】 = 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 答案 12 解析 DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(BA AC ) 16AB 23AC ， 1 16， 2 23，即 1 2 12. 题型一 平面向量的概念 1给出下列四个命题： 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是
8、不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b. 其中正确命题的序号是 ( ) A B C D 答案 A 解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； 正确 AB DC ， | AB | |DC |且 AB DC ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形， 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB DC 且 |AB | |DC |， AB DC ； 正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同， 又 b c， b， c 的
9、长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c； 不正确当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且 a b 不是 a b 的充 要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0的模
10、相同，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故 也是假命题综上所述，假命 题的个数是 3. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线 题型二 平面向量的线性运算 命题点 1 向量的线性运算 典例 (1)在 ABC 中， AB c， AC b，若点 D 满足 BD 2DC ，则 AD
11、 等于 ( ) A.23b 13c B.53c 23b C.23b 13c D.13b 23c 答案 A 解析 BD 2DC ， AD AB BD 2DC 2(AC AD )， 3 AD 2AC AB ， AD 23AC 13AB 23b 13c. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2017 青海西宁一模 )如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB，点 E 在 AD 边上，且 AD 3AE，则用向量 AB ， AC 表示 CE 为 ( ) A.29AB 89AC B.29AB 89AC C.29AB 79AC D.29AB 79AC 答案 B 解析 由平面向量的三
12、角形法则及向量共线的性质可得 CE AE AC 13AD AC 13(AB 13BC ) AC 13? ?AB 13?AC AB ? AC 29AB 89AC . 命题点 2 根据向量线性运算求参数 典例 (1)在 ABC 中，点 M， N 满足 AM 2MC ， BN NC .若 MN xAB yAC ，则 x _， y _. 答案 12 16 解析 MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12(AB AC ) 12AB 16AC xAB yAC ， x 12， y 16. (2)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点
13、C， D 不重合 )，若 AO xAB (1 x)AC ，则 x 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 12 B.? ?0， 13 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.? ? 12， 0 D.? ? 13， 0 答案 D 解析 设 CO yBC ， AO AC CO AC yBC AC y(AC AB ) yAB (1 y)AC . BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点 C， D 不重合 )， y ? ?0， 13 ， AO xAB (1 x)AC ， x y， x ? ? 13， 0 . 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值 跟踪训练 (1)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点，那么 EF 等于 ( ) A.12AB 13AD B.14AB 12AD C.13AB 12DA D.12AB 23AD 答案 D =【 ;精品教育资源
