1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二章 函数的概念与基本初等函数 第一节 函数及其表示 本节主要包括 3 个知识点： 1.函数的定义域； 2.函数的表示方法； 3.分段函数 . 突破点 (一 ) 函数的定义域 基本知识 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A， B 设 A， B 是两个 非空的数集 设 A， B 是两个 非空的集合 对应关系 f： A B 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意 一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使对于 集合 A 中的 任意 一个元素x，在集合 B 中都有 唯一确定 的元素
2、y 与之对应 名称 称 f： A B 为从集合 A 到集合 B的一个函数 称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y f(x)， x A 对应 f： A B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的 子集 (2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 (3)相等函数：如果两个函 数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的
3、依据 基本能力 1判断题 (1)函数是特殊的映射 ( ) (2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点 ( ) (3)函数 y 1 与 y x0是同一个函数 ( ) 答案： (1) (2) (3) 2填空题 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)下列对应关系： A 1,4,9， B 3， 2， 1,1,2,3， f： x x 的平方根； A R， B R， f： x x 的倒数； A R， B R， f： x x2 2； A 1,0,1， B 1,0,1， f： A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 _ 答案： (2)函数 y x 1 ln(x 2)的定义域为 _ 答案
4、： (2， ) (3)下列 f(x)与 g(x)表示同一函数的是 _ f(x) x2 1与 g(x) x 1 x 1； f(x) x 与 g(x) x3 xx2 1； y x 与 y ( x)2； f(x) x2与 g(x) 3 x3. 答案： 全析考法 求给定解析式的函数的定义域 常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y x0的定义域是 x|x0 (5)y ax(a0 且 a1) ， y sin x， y cos x 的定义域均为 R. (6)y logax(a0 且 a
5、1) 的定义域为 (0， ) (7)y tan x 的定义域为 ? ?x| x k 2 ， k Z . =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 1 (2018 长沙模拟 )函数 f(x) 2 2x 1log3x的定义域为 ( ) A x|x1 解析 要使函数有意义，则必须满足? 2 2x0 ，x0，log3x0 ， 00，解得 x2 或 x0，3x 10， 解得130， m2 4m0 ， 解得 01)将上式代入 f ? ?2x 1 lg x，得 f(t) lg 2t 1，即所求函数的解析式为 f(x) lg 2x 1(x1) 答案： lg 2x 1(x1) 4已知 f(x)满足 2f(x) f
6、? ?1x 3x 1，则 f(x) _. 解析：已知 2f(x) f ? ?1x 3x 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 以 1x代替 中的 x(x0) ，得 2f ? ?1x f(x) 3x 1. 由 2 ，得 3f(x) 6x 3x 1， 于是所求函数的解析式为 f(x) 2x 1x 13(x0) 答案： 2x 1x 13(x0) 突破点 (三 ) 分段函数 基本知识 1分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函数 2分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 (2)分段函数的定义域等于各段
7、函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集 基本能力 1判断题 (1)分段函数是两个或多个函数 ( ) (2)设函数 f(x) ? x， x0 ， x， x0，3x 1， x0 ， 则 f?f?14 的值是 _ 解析：由题意可得 f? ?14 log214 2， f? ?f? ?14 f( 2) 3 2 1 109. 答案： 109 (2)已知函数 f(x)? a x 1， x1 ，ax 1， x1， 若 f(1)12，则 f(3) _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：由 f(1) 12，可得 a 12，所以 f(3) ? ?12 2 14. 答案： 14 (3)(2018 杭
8、州模拟 )已知 f(x)? 12x 1， x0 ， x 2， x 0，使 f(x) 1 成立的 x 的取值范围是 _ 解析：由题意知? x0 ，12x 1 1或? x 0， x 2 1， 解得 4 x0 或 0 x2 ，故 x 的取值范围是 4,2 答案： 4,2 全析考法 分段函数求值问题 例 1 (1)(2018 东营模拟 )已知函数 f(x) ? 3sin x， x0 ，f x 1， x0， 则 f? ?23 的值为 ( ) A.12 B 12 C 1 D 1 (2)(2018 张掖高三模拟 )已知函数 f(x)? ?12x， x4 ，f x ， x4，则 f(1 log25)的值为 ( ) A.14 B.? ?12 1 log25 C.12 D.120 解析 (1)f? ?23 f? ? 13 1 3sin? ? 3 1 12.
