1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示 本节主要包括 2 个知识点： 1.数列的通项公式； 2.数列的性质 . 突破点 (一 ) 数列的通项公式 基本知识 1数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的 项 ，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项 (通常也叫做首项 ) 2数列的通项公式 如果数列 an的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 3数列的递推 公式 如果已知数列 an的第一项 (或前几项 )，且任何一项 an与它的前一项 an
2、1(或前几项 )间的关系可以用一个式子来表示，即 an f(an 1)(或 an f(an 1， an 2)等 )，那么这个式子叫做数列 an的递推公式 4 Sn与 an的关系 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，则 an? S1， n 1，Sn Sn 1， n2 ， 这个关系式对任意数列均成立 基本能力 1判断题 (1)所有数列的第 n 项都 能使用公式表达 ( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (3)若已知数列 an的递推公式为 an 1 12an 1，且 a2 1，则可以写出数列 an的任何一项 ( ) (4)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对
3、 ? n N*，都有 an 1 Sn 1 Sn.( ) 答案： (1) (2) (3) (4) 2填空题 (1)已知数列 an的前 4 项为 1,3,7,15，则数列 an的一个通项公式为 _ 答案： an 2n 1(n N*) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知数列 an中， a1 1， an 1 an2an 3，则 a2 _. 答案： 15 (3)已知 Sn 是数列 an的前 n 项和，且 Sn n2 1，则数列 an的通项公式是_ 答案： an? 2， n 1，2n 1， n2 全析考法 利用数列的前几项求通项 给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序 号之间的关
4、系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系 例 1 (1)(2018 江西鹰潭一中期中 )数列 1， 4,9， 16,25， ? 的一个通项公式是 ( ) A an n2 B an ( 1)nn2 C an ( 1)n 1n2 D an ( 1)n(n 1)2 (2)(2018 山西太原五中调考 )把 1,3,6,10,15， ? ，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形 (如图所示 ) 则第 7 个三角形数是 ( ) A 27 B 28 C 29 D 30 解析 (1)法一：该数列中第 n 项的绝对值是 n2，正
5、负交替的符号是 ( 1)n 1，故选C. 法二：将 n 2 代入各选项，排除 A， B， D，故选 C. (2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即 an an 1 n(n2) 所以根据这个规律计算可知，第 7 个三角形数是 a7 a6 7 a5 6 7 15 6 7 28.故选 B. 答案 (1)C (2)B 方法技巧 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由数列的前几项求通项公式的思路方法 (1)分式形式的数列，分别求分子、分母 的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系 (2)若第 n 项和第 n 1 项正负交错，那么符号用 ( 1)n或 ( 1)n
6、1或 ( 1)n 1来调控 (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的 “ 和 ”“ 差 ”“ 积 ”“ 商 ” 后再进行归纳 提醒 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“ 从特殊到一般 ” 的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验 利用 an与 Sn的关系求通项 数列 an的前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 an? S1， n 1，Sn Sn 1， n2 ， 通过纽带： an Sn Sn 1(n2) ，根据题目已
7、知条件，消掉 an或 Sn，再利用特殊形式 (累乘或累加 )或通过构造成等差数列或者等比数列求解 例 2 已知数列 an的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn ( 1)n 1 n，求 a5 a6及 an； (2)若 Sn 3n 2n 1，求 an. 解 (1)a5 a6 S6 S4 ( 6) ( 4) 2， 当 n 1 时， a1 S1 1； 当 n2 时， an Sn Sn 1 ( 1)n 1 n ( 1)n( n 1) ( 1)n 1 n (n 1) ( 1)n 1(2 n 1)， 又 a1也适合此式，所以 an ( 1)n 1(2 n 1) (2)因为当 n 1 时， a1 S1 6；
8、 当 n2 时， an Sn Sn 1 (3n 2n 1) 3n 1 2(n 1) 1 23 n 1 2， 由于 a1不适合此式，所以 an? 6， n 1，23 n 1 2， n2. 方法技巧 已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1 S1求出 a1. (2)用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn Sn 1(n2) 便可求出当 n2时 an的表达式 (3)对 n 1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把=【 ;精品教育资源文库 】 = 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n 1 与 n2 两段来写 利用递推关系求通
9、项 例 3 (1)在数列 an中， a1 2， an 1 an 3n 2，求数列 an的通项公式 (2)在数列 an中， a1 1， an n 1n an 1(n2) ，求数列 an的通项公式 (3)在数列 an中 a1 1， an 1 3an 2，求数列 an的通项公式 (4)已知数列 an中， a1 1， an 1 2anan 2，求数列 an的通项公式 解 (1)因为 an 1 an 3n 2， 所以 an an 1 3n 1(n2) ， 所以 an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 n n2 (n2) 当 n 1 时， a1 2 12(31 1)，符
10、合上式， 所以 an 32n2 n2. (2)因为 an n 1n an 1(n2) ， 所以 an 1 n 2n 1an 2， ? ， a2 12a1. 由累乘法可得 an a1 12 23? n 1n a1n 1n(n2) 又 a1 1 符合 上式， an 1n. (3)因为 an 1 3an 2，所以 an 1 1 3(an 1)，所以 an 1 1an 1 3，所以数列 an 1为等比数列，公比 q 3.又 a1 1 2，所以 an 1 23 n 1，所以 an 23 n 1 1. (4) an 1 2anan 2， a1 1， an0 ， 1an 1 1an 12，即 1an 1 1
11、an 12， 又 a1 1，则 1a1 1， ? ?1an是以 1 为首项， 12为公差的等差数列 1an 1a1 (n 1) 12 n2 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = an 2n 1(n N*) 方法技巧 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an 1 an f(n) 叠加 法 a1 1， an 1 an 2n an 1 anf(n) 叠乘法 a1 1， an 1an 2n an 1 Aan B (A0,1 ，B0) 化为等比数列 a1 1， an 1 2an 1 an 1 AanBan C(A， B， C 为常数 ) 化为等差数列 a1 1， an 1 3an2an 3
12、全练题点 1.考点一 (2018 湖南衡阳二十六中期中 )在数列 1,1,2,3,5,8， x,21,34,55， ? 中，x 的值为 ( ) A 11 B 12 C 13 D 14 解析：选 C 观察所给数列的项，发现从第 3 项起，每一项都是与它相邻的前两项的和，所以 x 5 8 13，故选 C. 2.考点一 数列 1， 58， 715， 924， ? 的一个通项公式是 ( ) A an ( 1)n 12n 1n2 n(n N*) B an ( 1)n 12n 1n3 3n(n N*) C an ( 1)n 12n 1n2 2n(n N*) D an ( 1)n 12n 1n2 2n(n
13、N*) 解析：选 D 所给数列各项可写成： 313 ， 524 ， 735 ， 946 ， ? ，通过对比各选项，可知选 D. 3.考点二 (2018 黑龙江双鸭山一中期末 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn 2an 4， n N*，则 an ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2n 1 B 2n C 2n 1 D 2n 2 解析：选 A 因为 Sn 2an 4，所以 n2 时，有 Sn 1 2an 1 4, 两式相减可得 Sn Sn1 2an 2an 1，即 an 2an 2an 1，整理得 an 2an 1，即anan 1 2(n2) 因为 S1 a1 2a1 4，
14、所以 a1 4，所以 an 2n 1. 4.考点三 (2018 山东潍坊期中 )在数列 an中， a1 2， an 1 an ln? ?1 1n ，则 an( ) A 2 ln n B 2 (n 1)ln n C 2 nln n D 1 n ln n 解析：选 A 法一：由已知得 an 1 an ln? ?1 1n lnn 1n ，而 an (an an 1) (an 1an 2) ? (a2 a1) a1， n2 ，所以 an ln nn 1 lnn 1n 2 ? ln21 2 ln? ?nn 1 n 1n 2? 21 2 ln n 2， n2. 当 n 1 时， a1 2 ln 1 2.故
15、选 A. 法二：由 an an 1 ln? ?1 1n 1 an 1 ln nn 1 an 1 ln n ln(n 1)(n2) ，可知an ln n an 1 ln(n 1)(n2) 令 bn an ln n，则数列 bn是以 b1 a1 ln 1 2 为首项的常数列，故 bn 2，所以 2 an ln n，所以 an 2 ln n故选 A. 突破点 (二 ) 数列的性质 基本知识 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an 1 an 其中 n N* 递减数列 an 1 an 常数列 an 1 an 按其他标准分类 有界数列 存在正数 M，使 |an| M 摆动数列 从 第二项起
