1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（五十六） 离散型随机变量的分布列、均值与方差 一般难度题 全员必做 1某同学在篮球场上进行投篮训练，先投 “2 分的篮 ”2 次，每次投中的概率为 45，每投中一次得 2 分，不中得 0 分；再投 “3 分的篮 ”1 次，投中的概率为 23，投中得 3 分，不中得 0 分该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上 3 次投篮 (1)求该同学恰有 2 次投中的概率； (2)求该同学所得分 X 的分布列和数学期望 解： (1)由题可知总共有 3 次投篮，每次投不中记为 0，投中记为 1，共 有 23 8 种情况，其中恰有 2 次投中的有 (1
2、,1,0)， (1,0,1)， (0,1,1)，共 3 种情况，其发生的概率为 P 45 45 ? ?1 23 45 ? ?1 45 23 ? ?1 45 45 23 3275. (2)由题可知得分共有 6 种情况， X 的所有可能取值为 0,2,3,4,5,7. X 0 的情况为 (0,0,0)， P(X 0) 15 15 13 175； X 2 的情况为 (1,0,0)， (0,1,0)， P(X 2) 45 15 132 875； X 3 的情况为 (0,0,1)， P(X 3) 15 15 23 275； X 4 的情况为 (1,1,0)， P(X 4) 45 45 13 1675；
3、X 5 的情况为 (1,0,1)(0,1,1)， P(X 5) 2 15 45 23 1675； X 7 的情况为 (1,1,1)， P(X 7) 45 45 23 3275. 得分 X 的分布列为 X 0 2 3 4 5 7 P 175 875 275 1675 1675 3275 E(X) 0 175 2 875 3 275 4 1675 5 1675 7 3275 265. 2为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来=【 ;精品教育资源文库 】 = 自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员
4、中随机选择 4 人参加比赛 (1)设 A为事件 “ 选出的 4人中恰有 2名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会 ” ，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列及均值 E(X) 解： (1)由已知得， P(A) C22C23 C23C23C48 635. 所以事件 A 发生的概率为 635. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X k) Ck5C4 k3C48 (k 1,2,3,4) 所以，随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 E(X) 1 114 2 37 3 37
5、 4 114 52. 3 (2018 湖南湘中名校联考 )某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 (1)求事件 A： “ 购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款 ” 的概率 P(A)； (2)求 的分布列及期望 E( ) 解： (1)由 A 表示事件 “ 购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1
6、期付款 ” ， 可得 A 表示事件 “ 购买该商品的 3 位顾客中，无人采用 1 期付款 ” 又 P(A ) (1 0.4)3 0.216， 故 P(A) 1 P(A ) 1 0.216 0.784. (2) 的可能取值为 200,250,300. P( 200) P( 1) 0.4， P( 250) P( 2) P( 3) 0.2 0.2 0.4， P( 300) P( 4) P( 5) 0.1 0.1 0.2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 的分布列为 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E( ) 2000.4 2500.4 3000.2 240. 中档难度题 学优生做
7、 1抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 的正方体，记上底面上的数字分别为 x， y.若 a表示 a的整数部分，如： 2.6 2，设 为随机变量，且 ? ?xy . (1)求 P( 0)； (2)求 的分布列，并求其均值 E( ) 解： (1)依题意，实数对 (x， y)共有 36 种情况，使 ? ?xy 0 的实数对 (x， y)有以下 15 种情况： (1,2)， (1,3)， (2,3)， (1,4)， (2,4)， (3,4)， (1,5)， (2,5)， (3,5)， (4,5)，(1,6)， (2,6)， (3,6)， (4,6)， (5,6)， 所以
8、P( 0) 1536 512. (2)随机变量 的所有可能取值为 0,1,2. 1 的情况有以下 18 种： (1,1)， (2,1)， (3,1)， (2,2)， (3,2)， (4,2)， (5,2)， (6,2)，(3,3)， (4,3)， (5,3)， (6,3)， (4,4)， (5,4)， (6,4)， (5,5)， (6,5)， (6,6)， 所以 P( 1) 1836 12. 2 的情况有以下 3 种： (4,1)， (5,1)， (6,1)，所以 P( 2) 336 112. 所以 的分布列为 0 1 2 P 512 12 112 均值 E( ) 0 512 1 12 2 1
9、12 23. 2 (2018 合肥质检 )某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 45.第一次抽奖，若未中奖 ，则抽奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则=【 ;精品教育资源文库 】 = 须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金 1 000 元；若未中奖，则所获得的奖金为 0 元 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 25，每次中奖均可获得奖金 400 元 (1)求某员工选择方
10、案甲进行抽奖所获奖金 X(元 )的分布列； (2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解： (1)所获资金 X 的所有可能取值为 0,500,1 000. P(X 0) 15 45 12 15 725， P(X 500) 45 12 25， P(X 1 000) 45 12 45 825， 某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元 )的分布列为 X 0 500 1 000 P 725 25 825 (2)由 (1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金 X 的期望 E(X) 500 25 1 000 825520， 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数 B? ?3， 25 ，则
11、E( ) 3 25 65，抽奖所获奖金 X的期望 E(X) 400E( ) 480，故选择方案甲较划算 较高难度题 学 霸做 1某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担若厂商恰能在约定日期 ( 月 日 )将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂 20 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂 1 万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 万元为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息： 统计信息 汽车行 驶路线 在不堵车的情况下到达
12、城市乙所需时间 (天 ) 在堵车的情况 下到达城市乙所需时间 (天 ) 堵车的概率 运费 (万元 ) 公路 1 2 3 110 1.6 公路 2 1 4 12 0.8 (1)记汽车选择公路 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为 (单位：万元 )，求 的分=【 ;精品教育资源文库 】 = 布列和均值 E( )； (2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？ (注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费 ) 解： (1)若汽车走公路 1， 不堵车时牛奶厂获得的毛收入 20 1.6 18.4(万元 )； 堵车时牛奶厂获得的毛收入 20 1.6 1 17.4(万元 )， 汽车走公路 1 时牛奶
13、厂获得的毛收入 的分布列为 18.4 17.4 P 910 110 E( ) 18.4 910 17.4 110 18.3(万元 ) (2)设汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入为 ，则不堵车时牛奶厂获得的毛收入 20 0.8 1 20.2(万元 )； 堵车时牛奶厂获得的毛收入 20 0.8 2 17.2(万元 ) 汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入 的分布列为 20.2 17.2 P 12 12 E( ) 20.2 12 17.2 12 18.7(万元 ) E( )E( )， 选择公路 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多 2 (2017 江苏高考 )已知一个口袋中有 m 个白球，
14、n 个黑球 (m， n N*， n2) ，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3， ? ，m n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉 (k 1,2,3， ? ， m n). 1 2 3 ? m n (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p； (2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E(X)是 X 的数学期望，证明： E(X) nm n n . 解： (1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p 为： p Cn 1m n 1Cnm n nm n. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明：随机变量 X 的概率分布为： X 1n 1n 1 1n 2 ? 1k ? 1m n P Cn 1n 1Cnm n Cn 1nCnm n Cn 1n 1Cnm n ? Cn 1k 1Cnm n ? Cn 1n m 1Cnm n 随机变量 X 的期望为：
