1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（十六） 导数与函数的综合问题 一般难度题 全员必做 1 (2017 全国卷 )设函数 f(x) (1 x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时， f(x) ax 1，求 a 的取值范围 解： (1)f( x) (1 2x x2)ex. 令 f( x) 0，得 x 1 2或 x 1 2. 当 x ( ， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， ) 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， 1 2)， ( 1 2， ) 上单调递减，在 ( 1 2， 1
2、 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex. 当 a1 时，设函数 h(x) (1 x)ex，则 h( x) xex 0(x 0) 因此 h(x)在 0， ) 上单调递减， 又 h(0) 1，故 h(x)1 ， 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1. 当 0 a 1 时，设 函数 g(x) ex x 1， 则 g( x) ex 1 0(x 0)， 所以 g(x)在 0， ) 上单调递增，而 g(0) 0， 故 ex x 1. 当 0 x 1 时， f(x) (1 x)(1 x)2， (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2)， 取 x0 5 4a
3、12 ， 则 x0 (0,1)， (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0， 故 f(x0) ax0 1. 当 a0 时，取 x0 5 12 ， 则 x0 (0,1)， f(x0) (1 x0)(1 x0)2 1 ax0 1. 综上， a 的取值范围是 1， ) 2 (2018 沈阳监测 )已知函数 f(x) aln x(a0)， e 为自然对数的底数 (1)若过点 A(2， f(2)的切线斜率为 2，求实数 a 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 x0 时，求证 f(x) a? ?1 1x ； (3)若在区间 (1， e)上 exa e1a x0)， 则 g( x) a?
4、?1x 1x2 . 令 g( x)0，即 a? ?1x 1x2 0，解得 x1， 令 g( x)x 1ln x. 令 h(x) x 1ln x，则 h( x)ln x 1 1xx 2 ， 由 (2)知，当 x (1， e)时， ln x 1 1x0， h( x)0，即 h(x)在 (1， e)上单调递增， h(x)0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k 2 时， f( x) 1x2 2x ? ?1x 1 2 11 ，当且仅当 x 1 时，等号成立 所以函数 f(x)的图象的切线斜率中的最大值为 1. (2)因为关于 x 的方程 f(x) k 有解，令 g(x) f(x) k 1x kl
5、n x k，则问题等价于函数 g(x)存在零点 g( x) 1x2 kx kx 1x2 .当 k0， g(e1 1k) 1e1 1k k? ?1 1k k 1e1 1k 10 时，令 g( x) 0，得 x 1k.g( x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x ? ?0， 1k 1k ? ?1k， g( x) 0 g(x) 极小值 所以 g? ?1k k k kln 1k kln k 为函数 g(x)的最小值，当 g? ?1k 0，即 00，所以函数 g(x)存在零点综上，当 k0，设 g(x) ln x mx. (1)求 a 的值； (2)对任意 x1x20， g x1 g x2x1 x
6、2 a.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( a,1 a) 1 a (1 a， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) 0 f(x) 极小值 因此， f(x)在 1 a 处取得最小值 故由题意 f(1 a) 1 a 0，所以 a 1. (2)由 g x1 g x2x1 x2x20 恒成立， 即 h(x) g(x) x ln x x mx在 (0， ) 上为减函数 h( x) 1x 1 mx20 在 (0， ) 上恒成立， 所以 m x x2在 (0， ) 上恒成立， 而 (x x2)max 14，则 m 14， 即实数 m 的取值范围为 ? ?14， .
7、 (3)由题意知方程可化为 ln x mx x，即 m x2 xln x(x1) 设 m(x) x2 xln x，则 m( x) 2x ln x 1(x1) 设 h(x) 2x ln x 1(x1) ，则 h( x) 2 1x0，因此h(x)在 1， ) 上单调递增， h(x)min h(1) 1.所以 m(x) x2 xln x 在 1， ) 上单调递增因此当 x1 时， m(x) m(1) 1.所以当 m1 时方程有一个根，当 m0 恒成立，则函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增，无单调递减区间； 当 m0 时，由 f( x) 1 mxx 0，得 x ? ?0， 1m ， 由 f( x
8、) 1 mxx 0 时，函数 f(x)的单调递增区间是 ? ?0， 1m ，单调递减区间是 ? ?1m， . (2)由 (1)知：当 m0 时， f(x)在 (0， ) 上单调递增， f(1) 0，显然不符合题意； 当 m0 时， f(x)max f? ?1m ln 1m 1 m m ln m 1， 只需 m ln m 10 即可 令 g(x) x ln x 1，则 g( x) 1 1x x 1x ， x (0， ) ， g(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增 g(x)min g(1) 0. g(x)0 对 x (0， ) 恒成立， 也就是 m ln m 10 对 m (
9、0， ) 恒成立， 由 m ln m 1 0，解得 m 1. 若 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，则 m 1. (3)证明： f b f ab a ln b ln a a bb a ln b ln ab a 1ln baba 1 1a 1. 由 (2)得 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，即 ln x x 1，当且仅当 x 1 时取等号 又由 01， 00， 故当 x 1， x0)时， H1( x)0， H1(x)单调递增 因此，当 x 1， x0) (x0,2时， H1(x)H1(x0) f(x0) 0，可得 H1(m)0，即 h(m)0. 令函数 H2(x) g(x0)(x x0
10、) f(x)， 则 H2( x) g(x0) g(x) 由 (1)知 g(x)在 1,2上单调递增， 故当 x 1， x0)时， H2( x)0， H2(x)单调递增； 当 x (x0,2时， H2( x)0，故 f(x)在 1,2上单调递增，所以 f(x)在区间 1,2上除x0外没有其他的零点，而 pq x0，故 f? ?pq 0. 又因为 p， q， a 均为整数，所以 |2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4|是正 整数，从而 |2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4|1. 所以 ? ?pq x0 1g q4. 所以只要取 A g(2)，就有 ? ?pq x0 1Aq4.
11、 2 (2017 江苏高考 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx 1(a0， b R)有极值，且导函数f( x)的极值点是 f(x)的零点 (极值点是指函数取极值时对 应的自变量的值 ) (1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明： b23a； (3)若 f(x)， f( x)这两个函数的所有极值之和不小于 72，求 a 的取值范围 解： (1)由 f(x) x3 ax2 bx 1， 得 f( x) 3x2 2ax b 3? ?x a3 2 b a23. 当 x a3时， f( x)有极小值 b a23. 因为 f( x)的极值点 是 f(x)的零点， 所以 f? ?
12、 a3 a327a39ab3 1 0， 又 a0，故 b 2a29 3a. 因为 f(x)有极值， 故 f( x) 0 有实根， 从而 b a2319a(27 a3)0 ，即 a3. 当 a 3 时， f( x)0(x 1)， 故 f(x)在 R 上是增函数， f(x)没有极值； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a3 时， f( x) 0 有两个相异的实根 x1 a a2 3b3 ， x2 a a2 3b3 . 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， x1) x1 (x1， x2) x2 (x2， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(
13、x)的极值点是 x1， x2.从而 a3. 因此 b 2a29 3a，定义域为 (3， ) (2)证明：由 (1)知， ba 2a a9 3a a . 设 g(t) 2t9 3t，则 g( t) 29 3t2 2t2 279t2 . 当 t ? ?3 62 ， 时， g( t)0， 从而 g(t)在 ? ?3 62 ， 上单调递增 因为 a3，所以 a a3 3， 故 g(a a)g(3 3) 3，即 ba 3.因此 b23a. (3)由 (1)知， f(x)的极值点是 x1， x2，且 x1 x2 23a， x21 x22 4a2 6b9 . 从而 f(x1) f(x2) x31 ax21 bx1 1 x32 ax22 bx2 1 x13(3x21 2ax1 b) x23(3x222ax2 b) 13a(x21 x22) 23b(x1 x2) 2 4a3 6ab27 4ab9 2 0. 记 f(x)， f( x)所有极值之和为 h(a)， 因为 f( x)的极值为 b a2319a2 3a， 所以 h(a) 19a2 3a， a3. 因为 h( a) 29a 3a20， =【 ;精品教育资源文库 】 = 于是 h(a)在 (3， ) 上单调递减 因为 h(6) 72，于是 h(a) h(6)，故 a6. 因此 a 的取值范围为 (3,6
