1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 13.5 复 数 最新考纲 考情考向分析 1.理解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件 3.了解复数的代数表示及其几何意义 4.能进行复数代数形式的四则运算 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 . 本节主要考查复数的基本概念 (复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等 )，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档 . 1复数的有 关概念 (1)定义：形如 a bi(a， b R)的数叫作复数，其中 a
2、叫作复数 z 的 实部 ， b 叫作复数 z 的虚部 (i 为虚数单位 ) (2)分类： 满足条件 (a， b 为实数 ) 复数的分类 a bi 为实数 ?b 0 a bi 为虚数 ?b0 a bi 为纯虚数 ?a 0 且 b0 (3)复数相等： a bi c di?a c 且 b d(a， b， c， d R) (4)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 ?a c， b d(a， b， c， d R) (5)模：向量 OZ 的模叫作复数 z a bi 的 模，记作 |a bi|或 |z|，即 |z| |a bi| a2 b2(a， b R) 2复数的几何意义 复数 z a bi 与复平面
3、内的点 Z(a， b)及平面向量 OZ (a， b)(a， b R)是一一对应关系 3复数的运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)运算法则：设 z1 a bi， z2 c di， a， b， c， d R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 OZ OZ1 OZ2 ， Z1Z2 OZ2 OZ1 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)方程 x2 x 1 0 没有解 ( ) (2)复数 z a bi(a， b R)中，虚部为 bi.( )
4、(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小 ( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点 ( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 ( ) 题组二 教材改编 2设复数 z 满足 1 z1 z i，则 |z|等于 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 答案 A 解析 1 z i(1 z)， z(1 i) i 1， z i 11 i ?1 i?22 i， | z| |i| 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3在复平面内，向量 AB 对应的复数是 2 i，向量 CB 对应的复数是 1 3i，则向量 CA 对应的复数是 ( ) A 1 2i
5、 B 1 2i C 3 4i D 3 4i 答案 D 解析 CA CB BA 1 3i ( 2 i) 3 4i. 4若复数 z (x2 1) (x 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( ) A 1 B 0 C 1 D 1 或 1 答案 A 解析 z 为纯虚数， ? x2 1 0，x 10 ， x 1. 题组三 易错自纠 5设 a， b R， i 是虚数单位，则 “ ab 0” 是 “ 复数 a bi为纯虚数 ” 的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 答案 C 解析 复数 a bi a bi 为纯虚数， a 0 且 b0 ，即 a 0 且 b0
6、， “ ab 0” 是 “ 复数 a bi为纯虚数 ” 的必要不充分条件故选 C. 6设 i 是虚数单位，若 z cos isin ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则 位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析 z cos isin 对应的点的坐标为 (cos ， sin )，且点 (cos ， sin )位于第二象限， ? cos 0， 为第二象限角，故选 B. 7 i2 011 i2 012 i2 013 i2 014 i2 015 i2 016 i2 017 _. 答案 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 原式 i3 i4 i1 i2 i3
7、 i4 i 1. 题型一 复数的概念 1 (2017 全国 ) 设有下列四个命题： p1：若复数 z 满足 1z R，则 z R； p2：若复数 z 满足 z2 R，则 z R； p3：若复数 z1， z2满足 z1z2 R，则 z1 z 2； p4：若复数 z R，则 z R. 其中的真命题为 ( ) A p1， p3 B p1， p4 C p2， p3 D p2， p4 答案 B 解析 设 z a bi(a， b R)， z1 a1 b1i(a1， b1 R)， z2 a2 b2i(a2， b2 R) 对于 p1，若 1z R，即 1a bi a bia2 b2 R，则 b 0， 故 z
8、a bi a R，所以 p1为真命题； 对于 p2，若 z2 R，即 (a bi)2 a2 2abi b2 R，则 ab 0.当 a 0， b0 时， z a bibi?R，所以 p2为假命题； 对于 p3，若 z1z2 R，即 (a1 b1i)(a2 b2i) (a1a2 b1b2) (a1b2 a2b1)i R，则 a1b2 a2b10.而 z1 z 2，即 a1 b1i a2 b2i?a1 a2， b1 b2.因为 a1b2 a2b1 0?a1 a2， b1 b2，所以 p3为假命题； 对于 p4，若 z R，即 a bi R，则 b 0， 故 z a bi a R，所以 p4为真命题故
9、选 B. 2 (2018 长春模拟 )若复数 z 满足 i(z 3) 1 3i(其中 i 是虚数单位 )，则 z 的实部为( ) A 6 B 1 C 1 D 6 答案 A 解析 i z 3i 1 3i， i z 1 6i， z 6 i，故 z 的实部为 6. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2017 河南六市联考 )如果复数 2 bi1 2i(其中 i 为虚数单位， b 为实数 )的实部和虚部互为相反数，则 b _. 答案 23 解析 由 2 bi1 2i ?2 bi?1 2i?5 2 2b ?b 4?i5 ， 得 2 2b b 4，得 b 23. 4已知复数 z 满足 z2 4，若
10、z 的虚部大于 0，则 z _. 答案 2i 解析 设 z a bi(a， b R， b0)， 则 z2 a2 b2 2abi 4， 因此 a 0， b2 4， b 2 ， 又 b0， b 2， z 2i. 思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 (不等式 )组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为 a bi(a， b R)的形式，以确定实部和虚部 题型二 复数的运算 命题点 1 复数的乘法运算 典例 (1)(2018 长春质检 )设复数 z1， z2 在复平面内
11、的对应点关于虚轴对称， z1 2 i，则z1z2等于 ( ) A 5 B 5 C 4 i D 4 i 答案 A 解析 z1 2 i 在复平面内的对应点的坐标为 (2,1)， 又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则 z2的对应点的坐标为 ( 2,1)， 即 z2 2 i， z1z2 (2 i)( 2 i) i2 4 5. (2)复数 i(2 i)等于 ( ) A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 i(2 i) 2i i2 1 2i. (3)(2017 江苏 )已知复数 z (1 i)(1 2i)，其中 i 是虚数单
12、位，则 z 的模是 _ 答案 10 解析 方法一 z (1 i)(1 2i) 1 2i i 2 1 3i， | z| ? 1?2 32 10. 方法二 |z| |1 i|1 2i| 2 5 10. 命题点 2 复数的除法运算 典例 (1)(2017 全国 ) 3 i1 i等于 ( ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 答案 D 解析 3 i1 i ?3 i?1 i?1 i?1 i? 3 3i i 12 2 i. (2)(2016 全国 ) 若 z 1 2i，则 4iz z 1等于 ( ) A 1 B 1 C i D i 答案 C 解析 z 1 2i， z z 5， 4iz z
13、 1 i. (3)? ?1 i1 i 6 2 3i3 2i _. 答案 1 i 解析 原式 ? ?1 i?226 ? 2 3i? 3 2i? 3?2 ? 2?2 i6 6 2i 3i 65 1 i. 命题点 3 复数的综合运算 典例 (1)(2017 全国 ) 设复数 z 满足 (1 i)z 2i，则 |z|等于 ( ) A.12 B. 22 C. 2 D 2 答案 C 解析 方法一 由 (1 i)z 2i，得 z 2i1 i 1 i， =【 ;精品教育资源文库 】 = | z| 2. 故选 C. 方法二 2i (1 i)2， 由 (1 i)z 2i (1 i)2，得 z 1 i， | z|
14、2. 故选 C. (2)(2016 山东 )若复数 z 满足 2z z 3 2i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 ( ) A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 答案 B 解析 设 z a bi(a， b R)，则 z a bi， 2( a bi) (a bi) 3 2i，整理得 3abi 3 2i， ? 3a 3，b 2， 解得 ? a 1，b 2， z 1 2i，故选 B. (3)(2016 全国 ) 若 z 4 3i，则z|z|等于 ( ) A 1 B 1 C.45 35i D.45 35i 答案 D 解析 z 4 3i， |z| 5，z|z|4535i. 思维升华
15、复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 . (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为 a bi(a， b R)的形式，再结合相关定义解答 (4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为 a bi(a，b R)的形式，再结合复数的几何意义解答 (5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，
