1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.1 数列的概念与简单表示法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式 ). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 . 以考查 Sn与 an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档 . 1数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项 2数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an 1_an 其中 n N* 递减数列 an
2、1_an，即 (n 1)2 (n 1)n2n ，整理， 得 2n 1 0，即 (2n 1) (*) 因为 n1 ，所以 (2n 1) 3，要使不等式 (*)恒成立，只需 3. 5数列 an中， an n2 11n(n N*)，则此数列最大项的值是 _ 答案 30 解析 an n2 11n ? ?n 112 2 1214 ， n N*， 当 n 5 或 n 6 时， an取最大值 30. 6已知数列 an的前 n 项和 Sn n2 1，则 an _. 答案 ? 2， n 1，2n 1， n2 ， n N* 解析 当 n 1 时， a1 S1 2，当 n2 时， an Sn Sn 1 n2 1 (
3、n 1)2 1 2n 1， 故 an? 2， n 1，2n 1， n2 ， n N*. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 1数列 0， 23， 45， 67， ? 的一个通项公式为 ( ) A an n 1n 2(n N*) B an n 12n 1(n N*) C an 2?n 1?2n 1 (n N*) D an 2n2n 1(n N*) 答案 C 解析 注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 2数列 112 ， 123 ， 134 ， 145 ， ? 的一个通项公式 an _. 答案 ( 1)n 1n?n 1? 解析 这个数列前 4
4、 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an ( 1)n 1n?n 1?. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察 (观察规律 )、比较 (比较已知数列 )、归纳、转化 (转化为特殊数列 )、联想(联想常见的数列 )等方法 (2)具体策略： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项的符号特征和绝对值特征； 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； 对于符号交替出现的情况，可用 ( 1)k或 ( 1)k 1， k N*处理 (3)如果是选择题
5、，可采用代入 验证的方法 题型二 由 an与 Sn的关系求通项公式 典例 (1)已 知 数 列 an 的前 n 项和 Sn 3n2 2n 1(n N*)， 则 其 通 项 公 式 为_ 答案 an? 2， n 1，6n 5， n2 ， n N* 解析 当 n 1 时， a1 S1 31 2 21 1 2； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n2 时， an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3(n 1)2 2(n 1) 1 6n 5，显然当 n 1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 an? 2， n 1，6n 5， n2 ， n N*. (2)若数列 an的前 n 项和 Sn 23an
6、13(n N*)，则 an的通项公式 an _. 答案 ( 2)n 1 解析 由 Sn 23an 13，得当 n2 时， Sn 1 23an 1 13，两式相减，整理得 an 2an 1，又当 n 1 时， S1 a1 23a1 13， a1 1， an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，故 an ( 2)n 1. 思维升华 已知 Sn，求 an的步骤 (1)当 n 1 时， a1 S1. (2)当 n2 时， an Sn Sn 1. (3)对 n 1 时的情况进行检验，若适合 n2 的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式 跟踪训练 (1)(2017 河南八校一联 )在数列 an中，
7、Sn是其前 n 项和，且 Sn 2an 1，则数列的通项公式 an _. 答案 2n 1 解析 由题意得 Sn 1 2an 1 1， Sn 2an 1， 两式相减得 Sn 1 Sn 2an 1 2an， 即 an 1 2an，又 S1 2a1 1 a1， 因此 a1 1，所以数列 an是以 a1 1 为首项、 2 为公比的等比数列，所以 an 2n 1. (2)已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n 1，则数列的通项公式 an _. 答案 ? 4， n 1，23 n 1， n2 解析 当 n 1 时， a1 S1 3 1 4， 当 n2 时， an Sn Sn 1 3n 1 3n 1 1 2
8、3 n 1. 显然当 n 1 时，不满足上式 an? 4， n 1，23 n 1， n2. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 典例 根据下列条件，确定数列 an的通项公式 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)a1 2， an 1 an ln? ?1 1n ； (2)a1 1， an 1 2nan； (3)a1 1， an 1 3an 2. 解 (1) an 1 an ln? ?1 1n ， an an 1 ln? ?1 1n 1 ln nn 1(n2) ， an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 ln nn 1 ln n 1n 2 ? ln 32 ln
9、 2 2 2 ln? ?nn 1 n 1n 2? 322 2 ln n(n2) 又 a1 2 适合上式，故 an 2 ln n(n N*) (2) an 1 2nan， anan 1 2n 1 (n2) ， an anan 1 an 1an 2? a2a1 a1 2n 12 n 2?21 21 2 3 ? (n 1) ( 1)22nn? . 又 a1 1 适合上式，故 an ( 1)22nn? (n N*) (3) an 1 3an 2， an 1 1 3(an 1)， 又 a1 1， a1 1 2， 故数列 an 1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an 1 23 n 1，故 an 2
10、3 n 1 1(n N*) 引申探究 在本例 (2)中，若 an n 1n an 1(n2 ，且 n N*)，其他条件不变，则 an _. 答案 1n 解析 an n 1n an 1 (n2) ， an 1 n 2n 1an 2， ? ， a2 12a1. 以上 (n 1)个式子相乘得 an a1 12 23? n 1n a1n 1n. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n 1 时也满足此等式， an 1n. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现 an an 1 m 时，构造等差数列 (2)当出现 an xan 1 y 时，构造等比数列 (3)当出现 an an
11、1 f(n)时，用累加法求解 (4)当出现 anan 1 f(n)时，用累乘法求解 跟踪训练 (1)已知数列 an满足 a1 1， a2 4， an 2 2an 3an 1(n N*)，则数列 an的通项公式 an _. 答案 32 n 1 2 解析 由 an 2 2an 3an 1 0， 得 an 2 an 1 2(an 1 an)， 数列 an 1 an是以 a2 a1 3 为首项， 2 为公比的等比数列， an 1 an 32 n 1， 当 n2 时， an an 1 32 n 2， ? ， a3 a2 32 ， a2 a1 3， 将以上各式累加，得 an a1 32 n 2 ? 32
12、3 3(2n 1 1)， an 32 n 1 2(当 n 1 时，也满足 ) (2)在数列 an中， a1 3， an 1 an 1n?n 1?，则通项公式 an _. 答案 4 1n 解析 原递推公式可化为 an 1 an 1n 1n 1， 则 a2 a1 11 12， a3 a2 12 13， a4 a3 13 14， ? ， an 1 an 2 1n 2 1n 1， an an 1 1n 1 1n，逐项相加得 an a1 1 1n， 故 an 4 1n. 题型四 数列的性质 命题点 1 数列的单调性 典例 已知 an n 1n 1，那么数列 an是 ( ) A递减数列 B递增数列 =【
13、;精品教育资源文库 】 = C常数列 D摆动数列 答案 B 解析 an 1 2n 1，将 an看作关于 n 的函数， n N*，易知 an是递增数列 命题点 2 数列的周期性 典例 数列 an满足 an 1 11 an， a8 2，则 a1 _. 答案 12 解析 an 1 11 an， an 1 11 an 11 11 an 1 1 an 11 an 1 1 1 an 1 an 1 1 1an 1 1 111 an 2 1 (1 an 2) an 2， n3 ， 周期 T (n 1) (n 2) 3. a8 a32 2 a2 2. 而 a2 11 a1， a1 12. 命题点 3 数列的最值
14、 典例 数列 an的通项 an nn2 90，则数列 an中的最大项是 ( ) A 3 10 B 19 C.119 D. 1060 答案 C 解析 令 f(x) x 90x (x0)，运用基本不等式得 f(x)2 90，当且仅当 x 3 10时等号成立 因为 an 1n 90n，所以 1n 90n 12 90，由于 n N*，不难发现当 n 9 或 n 10 时， an 119最大 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用 作差比较法，根据 an 1 an的符号判断数列 an是递增数列、递减数列还是常数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = 用作商比较法，根据 an 1an(an 0 或 an 0)与 1 的大小关系进行判断 结合相应函数的图象直观判断 (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 跟踪训练 (1)数列 an满足 an 1? 2an， 0 an 12，2an 1
