1、第九节圆锥曲线的综合问题,总纲目录,考点突破,考点二圆锥曲线中的定点、定值问题,考点一圆锥曲线中的范围、最值问题,考点三圆锥曲线中的探索性问题,考点一圆锥曲线中的范围、最值问题,考点突破,典例1(2018北京东城期末)已知椭圆C:?+?=1(ab0)的右焦点F(1,0)与短轴两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q为椭圆C上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于点P,求OPQ的面积S的最小值.,解析(1)由题意,得?解得a=?.所以椭圆C的方程为?+y2=1.(2)设Q(x0,y0),P(m,2),则?+?=1.当m=0时,点P(0,2),Q点坐标为(-?,0)
2、或(?,0),S=?2=?.当m0时,直线OP的方程为y=?x,即2x-my=0,直线QF的方程为y=-?(x-1).点Q(x0,y0)到直线OP的距离d=?,方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、基本不等式方法等进行求解.,1-1(2017北京朝阳一模)过点A(1,0)的直线l与椭圆C:?+y2=1相交于E,F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1.(
3、1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标;(2)记AEE1,AFF1的面积分别为S1,S2.设=S1S2,求的取值范围.,解析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,由?得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点为M(x0,y0),则x1+x2=?,则x0=?,y0=x0-1=-?.所以M?.(2)设直线l的方程为x=my+1,由?得(m2+3)y2+2my-2=0,显然mR.设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2).则y1+y2=?,y1y2=?.,典例2(2016北京,19,14分)已知椭圆C:?+?=1过A(2,0)
4、,B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.,考点二圆锥曲线中的定点、定值问题,解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为?+y2=1.又c=?=?,所以离心率e=?=?.(2)证明:设P(x0,y0)(x00,y0b0)过点(0,?),且满足a+b=3?.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为?的直线交椭圆C于两个不同点A,B,点M的坐标为(2,1),设直线MA与MB的斜率为k1,k2.若直线过椭圆C的左顶点,求此时k1,k2的值;试探究k1+k2是否为定值
5、,并说明理由.,解析(1)由椭圆过点(0,?),得b=?.因为a+b=3?,故a=2?.所以椭圆C的方程为?+?=1.(2)若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是l:y=?x+?,由?解得?或?故k1=-?,k2=?.,k1+k2为定值,且k1+k2=0.设直线的方程为y=?x+m.,由?消去y,得x2+2mx+2m2-4=0.,当=4m2-8m2+160,即-2mb0)的左、右顶点分别为A、B,且|AB|=4,离心率为?.(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q(4,0),若点P在直线x=4上,直线BP与椭圆交于另一点M,是否存在点P,使得四边形APQM为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明
6、理由.,考点三圆锥曲线中的探索性问题,因为点M在直线PB上,所以y1=?(x1-2),将代入得,?=?,显然y00,解得x1=1.由点M在椭圆上,得?+?=1,所以y1=?,即M?,将其代入,解得y0=3,所以P(4,3).,方法技巧(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.,3-1(2017北京丰台一模)已知P(0,1)是椭圆C:?+?=1(ab0)上一点,点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2?.(1)求
7、椭圆C的方程;(2)设A,B是椭圆C上异于点P的两点,直线PA与直线x=4交于点M,是否存在点A,使得SABP=?SABM?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)由椭圆C:?+?=1(ab0)过点P(0,1)可得b=1,由点P到两个焦点的距离之和为2?,可得a=?,所以椭圆C的方程为?+y2=1.(2)存在.理由如下:假设存在点A,使SABP=?SABM.依题意得直线PA的斜率存在且不为零.设A(m,n)(m0),则直线PA的方程为y=?x+1,令x=4,得y=?+1,即M?.由题意得,点A在y轴右侧,所以SABP=?SABM等价于?=?,从而?=?=?,因为点A在y轴的右侧,所以?=?,解得m=?,由点A在椭圆上,解得n=?,于是存在点A?,使得SABP=?SABM.,
