1、第7讲 抛物线,1.抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线,为抛物线的_.,准线,2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0),(续表),),C,1.已知抛物线 C：y2016x2，则(A.它的焦点坐标为(504,0)B.它的焦点坐标为(0,504)1C.它的准线方程是 y8064D.它的准线方程是 y504,),D,2.(2016 年四川)抛物线 y24x 的焦点坐标是(A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0),解析：由题意，y24x 的焦点坐标为(1,0).故选 D.3.若抛物线 y2
2、4x 上的点 M 到焦点的距离为 6，则点 M 的,5,横坐标是_.解析：xM16?xM5.,4.(2015 年陕西)若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线,x2y21 的一个焦点，则 p_.,考点 1,抛物线的标准方程,例 1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(3，m),到焦点的距离为 5，则抛物线的标准方程为(,),A.y28x B.y28x C.y24x D.y24x,解析：已知抛物线焦点在 x 轴上，其上有一点为 P(3，m)，显然开口向左，设 y22px(p0)，由点 P(3，m)到焦点的距p4，故标准方程为 y28x.答案：B,(2)(2016 年新课标)以抛
3、物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于,A.2,B.4,C.6,D.8,图 D46,答案：B,【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题主要考查抛物线的性质及运算，注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性.,【互动探究】1.(2014 年新课标)已知抛物线 C：y2x的焦点为F，A(x0，,A.1,B.2,C.4,D.8,A,解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等,考点 2,抛物线的几何性质,例 2：(1)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距
4、离之和的最小值为,(,),解析：由抛物线的定义知，点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线焦点 F 的距离之和.显然，当 P，F，(0,2)三点共线时，距,离之和取得最小值，最小值为,答案：A,(2)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线y2 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是,(,),A.2,B.3,C.,115,D.,3716,解析：直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线.由抛物线的定义知，点 P 到
5、 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线 y24x 上找一个点 P，使得点 P 到该抛物线焦点 F(1，0)和直线 l1 的距离之和最小，最小值为 F(1,0),到直线 l1：4x3y60 的距离，即 dmin,|406|5,2.故选 A.,答案：A,在直角梯形 ANFF中，中位线|BM|,(3)(2017 年新课标)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.解析：如图 D47，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 F，作 MBl 于
6、点 B，NAl 于点 A，由抛物线的解析式可得准线方程为 x2，则|AN|2，|FF|4.,|AN|FF|2,3.由抛物线,的定义有|MF|MB|3，结合题意，有|MN|MF|3.线段 FN的长度|FN|FM|MN|336.,图 D47,答案：6,【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条线段拉直(三点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，进行转换再求解.,【互动探究】2.(2016 年浙江)若抛物线 y2 4x 上的点 M 到焦点的距离为,9,10，则 M 到 y 轴的距离是_.解析： xM110?xM
7、 9.,考点 3,直线与抛物线的位置关系,x24A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程.,例3：(2017年新课标)设 A，B 为曲线 C：y 上两点，,【规律方法】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点、证明垂直、证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视
8、方程思想、函数思想及化归思想的应用.,【互动探究】,3.(2017 年新课标)已知 F 为抛物线C：y2 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，,直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为(,),A.16,B.14,C.12,D.10,解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线 l1 的方程为 yk(x1)，,答案：A,思想与方法利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题例题：AB 为过抛物线焦点的动弦，点 P 为 AB 的中点，A，B， P 在准线 l 的射影分别是A1，
9、B1，P1.有以下结论：FA1,FB1；AP1BP1；BP1FB1；AP1FA1. 其中正确的有(,),A.1 个,B.2 个,C.3 个,D.4 个,解析：如图 7-7-1(1)， |AA1|AF|，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，则A1FB190，故FA1FB1.,|AA1|BB1|,如图 7-7-1(2)，|PP1|,2,|AF|BF|2,|AB|2,，即,AP1B为直角三角形，故AP1BP1.,如图771(3)，|BB1|BF|，即BB1F为等腰三角形，|PP1|PB|，PP1BPBP1.又BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1FB1.如图771(4)，同有AP1FA1.综上所述，都正确.故选D.,(1)(3),(2)(4),图 7-7-1,答案：D,【规律方法】首先利用抛物线的定义能得到多个等腰三角形，然后利用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何的性质解题.,【互动探究】4.已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别,A.4,B.4,C.p2,D.p2,A,
