1、函数中易混问题11对函数是高中数学中最重要的概念之一在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误本文针对函数中容易混淆的十一对问题加以剖析并举例说明一、定义域与值域例1（I）若函数的定义域为，求实数的取值范围（II）若函数的值域为，求实数的取值范围分析：（I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，（II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集当时，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求故实数的取值范围是评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变
2、量取值的集合，而值域是函数值的集合二、定义域与有意义例2（I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围（II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围分析：（I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得（II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集三、值域与函数值变化范围例3（I）若函数的值域为，求实数的取值范围（II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围分析：（I）因为函数，所以，即的值域为，于是有，解得或（II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个
3、元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值四、主元与次元例4（I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围（II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围分析：（I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：i）当时，即时，只要，即，此时矛盾ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾iii）当时，即时，只要，即综上，实数的取值范围（II）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是，解得或或评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化五、有解与恒成立例5（I）已知，若恒成立，求实数的取值范
4、围（II）已知，若有解，求实数的取值范围分析：（I）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的上方，即就可，易知，所以，（II）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的上方即可，即，又，所以，评注：“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可有解，有解“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立恒成立，恒成立六、单调区间与区间单调例6（I）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围（II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围分析：（I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得（II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，
5、而单调区间是具有单调性的最大区间七、某点处的切线与过某点的切线例7（I）求曲线在点处的切线方程（II）求曲线过点的切线方程分析：（I）由得，所以曲线在点处的切线方程为，即（II）设切点为，又，所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为又在切线上，于是就有，即，解得或；当时，切点就是，切线为；当时，切点就是，切线斜率为，切线为评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一八、对称与周期例8（I）若函数对一切实数都有，且，求（II）若函数对一切实数都有，且，求分析：（
6、I）因为对于一切，都有，即，恒成立，那么就有的图象关于直线对称，所以，（II）因为函数对一切实数都有，那么就有是周期函数且，则 评注：若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线对称若函数对一切实数都有，则有是周期函数，且其中一个周期为九、中心对称与轴对称例9（I）若函数对一切实数都有，且时有求解析式（II）若函数对一切实数都有，且时有求解析式分析：（I）若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线成轴对称；又时有；所以时，有，；解析式为（II）函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称；又时有；所以时，有，解析式为评注：函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称十、时恒成立与时恒成立例10（
7、I）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围（II）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围分析：（I）设，则；于是，对于任意的时，恒成立即；容易知道，故（II）对于任意的，都有恒成立，等价于当时，；容易求得，于是，故评注：时恒成立，等价于时，；时恒成立，等价于时十一、函数单调与数列单调例11（I）若函数是单调增函数，求实数的取值范围（II）若函数（且）是单调增函数，求实数的取值范围分析：（I）因为函数在区间是单调增函数，所以对称轴直线，得实数的取值范围是（II）因为函数在且上是单调增函数，所以，对于一切，恒成立，即恒成立，故评注：数列是特殊的函数若在上是增函数，则数列一定是增数列，但反之未必成立因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理
