1、,三角函数、解三角形,第三章,第23讲解三角形应用举例,栏目导航,1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线_的角叫仰角,在水平线_的角叫俯角(如图),上方,下方,2方位角从指北方向_转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(如图)(1)北偏东,即由指北方向_旋转到达目标方向(2)北偏西,即由指北方向_旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似,顺时针,顺时针,逆时针,4坡度(比)坡角:坡面与水平面所成的_的度数(如图,角为坡角)坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡度(比)5解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问
2、题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等,二面角,2若点A在点C的北偏东30,点B在点C的南偏东60,且ACBC,则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西10解析如图所示,ACB90.又ACBC,CBA45,而30,90453015.点A在点B的北偏西15.,B,A,4在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若CAB75,CBA60,则A,C两点之间的距离为_千米,5一船向正北航行,看见正
3、东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60,另一灯塔在船的南偏东75,则这艘船每小时航行_海里,8,求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化为三角形问题(2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形,一距离问题,二高度问题,高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合,【例2】 要测量电视塔AB的高度,在点C测得塔顶A 的仰角是45,在点D测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,则电
4、视塔的高度为_m.,40,三角度问题,解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用,【例3】 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值,B,2如图,两座相距60 m的建筑
5、物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD()A30B45C60D75,B,3如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡A处测得DAC15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得DBC45,根据以上数据可得cos _.,4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD_m.,错因分析:三角形中的最值问题,可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型),转化为函数最值问题求最值时要注意自变量的范围,要考虑问题的实际意义,易错点不注意实际问题中变量的取值范围,【例1】 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度 的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由,