1、第38讲数列的综合应用,考试要求研究等差、等比数列综合问题.,1.(必修5P54习题6改编)已知实数a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于_.,诊 断 自 测,2.已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10_.,答案64,答案4,4.(必修5P55例5改编)某人为了购买商品房，从2008年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，
2、则可取人民币总数为_元.,5.(必修5P46练习1改编)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_m.,解析设放置在第x个树坑旁边，则,6.(必修5P48习题13改编)如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n行(n2)第2个数是_.,知 识 梳 理,1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活运用等差数列、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.2.解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：,(1)根据题
3、意建立数列模型；(2)运用数列知识求解数列模型；(3)检验结果是否符合题意，给出问题的答案.,考点一子数列问题【例1】 已知在等差数列an中，a25，前10项和S10120，若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项、第2n项，按原顺序组成新数列bn，求数列bn的前n项和Tn.,所以an3(n1)22n1，bna2n22n1.,解设an的公差为d ，,考点二数列与不等式【例2】 已知数列an的前n项和Sn满足Snt(Snan1)(t为常数且t0，t1).,解(1)当n1时，S1t(S1a11)，得a1t.当n2时，由Snt(Snan1)，即(1t)Sntant，得(1t)Sn1tan1t，得
4、(1t)antantan1，即antan1，, an是等比数列且公比是t， antn.,规律方法数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.,【训练1】 (2018南京调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a5a313，S416.,解(1)设数列an的公差为d.因为2a5a313，S416.,解得a11，d2，所以an2
5、n1，Snn2.(2)当n为偶数时，设n2k，kN*，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k，,因为kN*，所以f(k1)f(k)0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min2，所以4k.因为kN*，所以4k的最大值为4，所以4.综上所述，的取值范围为(4，2).,(3)假设存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列，则(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212，即(2nm22)(2nm22)12.因为nm2，所以n4，m3，所以2nm2215.因为2nm22是整数，所以等式(2nm
6、22)(2nm22)12不成立.故不存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列.,考点三新数列问题【例3】 (2017南通期末)若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”.,(1) 已知数列an中，a12，an12an1. 求an的通项公式； 试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(2) 已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*).求证：an为“等比源数列”.,(1)解 由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列.所以an12n1.所以数列an的通项公式为an2n1
7、1. 数列an不是“等比源数列”.用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列.因为an2n11，所以amanak.,又mnk，m，n，kN*，所以2nm11，nm11，k11，km1.所以22nm12nm12k12km为偶数，与22nm12nm12k12km1矛盾.所以数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.综上，可得数列an不是“等比源数列”.,(2)证明不妨设等差数列an的公差d0.当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列”.当d0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0.为了使得an为“等比源数列”，,即(nm)2am(nm)dam(km)成立.当namm，k2amamdm时，上式成立.所以an中存在am，an，ak成等比数列.所以数列an为“等比源数列”.,(2)解由(1)知ann2，所以cn2an52n1.当p1时，cpc11，cq2q1，cr2r1，,欲满足题设条件，只需q2p1，此时r4p25p2，因为p2，所以q2p1p，rq4p27p34(p1)2p10，即rq.综上所述，当p1时，不存在q，r满足题设条件；当p2时，存在q2p1，r4p25p2，满足题设条件.,
