1、7.2一元二次不等式及其解法,第七章不等式,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.“三个二次”的关系,知识梳理,x|xx2,x|xR,x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法,x|xb,x|xa,x|axb,?,x|bx0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图像开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.(),基础自
2、测,1,2,4,5,6,3,A.2,4) B.(1,3 C.2，1 D.1,3,题组二教材改编,1,2,4,5,6,解析,3,解析因为Ax|2x3，Bx|x1或x4，故?UBx|1x0，,题组三易错自纠4.不等式x23x40的解集为_.(用区间表示),解析,1,2,4,5,6,3,解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.,答案,(4,1),1,2,4,5,6,3,ab14.,解析,答案,14,6.已知关于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集为空集，则实数a的取值范围为_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析当a240时，a2.若a2，不等式可化为10，显然无解，满足
3、题意；若a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；,题型分类深度剖析,命题点1不含参的不等式典例 求不等式2x2x30的解集.,题型一一元二次不等式的求解,多维探究,解答,解化2x2x30，,命题点2含参不等式典例 解关于x的不等式ax222xax(aR).,解答,解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.,当a2时，不等式的解集为1；,综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；,含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符
4、号进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.,跟踪训练 解下列不等式：(1)0x2x24；,解答,借助于数轴，如图所示，,原不等式的解集为x|2x1或2x3.,(2)12x2axa2(aR).,解答,解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,当a0时，x20，解集为x|xR且x0；,当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；,；,.,命题点1在R上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式
5、2kx2kx 0，则a的取值范围是 A.(0,4) B.0,4)C.(0，) D.(，4),解析,解析对于任意xR，ax2ax10，,答案,命题点2在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解答,解要使f(x)0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，,有以下两种方法：,当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，,所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.,解得x3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零.,命题点3给
6、定参数范围的恒成立问题典例 对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围.,解答,解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意，知在1,1上，g(m)的值恒大于零，,(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,跟踪训练 函数f(x)x2ax3.
7、(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解答,解当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2.,(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解答,解当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图像恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图像与x轴有交点，,解得a?.,如图，g(x)的图像与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.,7a6，综上，实数a的取值范围是7,2.,(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围.,解答,
8、解令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立.,题型三一元二次不等式的应用,师生共研,典例 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；,解答,又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10.,(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.,解答,解设利润为y元，则,故当x6时，ymax457 500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的
9、利润最大，最大利润为457 500元.,求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.,跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；,解答,所以yf(x)40(10x
10、)(254x)，定义域为x0,2.,(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.,解答,解由题意得40(10x)(254x)10 260，,典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)3,即x22xa0恒成立.即当x1时，a(x22x)恒成立.令g(x)(x22x)，则g(x)(x22x)(x1)21在1，)上是减少的，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3.,课时作业,1.不等式(x1)(2x)0的解集为 A.x|1x2 B.x|x1或x2C.x|12,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
11、10,11,12,13,14,15,16,解析由(x1)(2x)0可知，(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x2.,解析,答案,2.(2018河北省三市联考)若集合Ax|32xx20，集合Bx|2x0时，x2x2，0x1.由得原不等式的解集为x|1x1.方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图像，如图所示，由图知f(x)x2的解集为1,1.,解析,4.若集合Ax|ax2ax10?，则实数a的取值范围是 A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意知，当a0时，满足条件.,得0320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到
