1、内蒙古开来中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷第卷（选择题 共70分）一、选择题（本大题共14道小题，每小题5分，共70分） 1.在等比数列中，如果公比，那么等比数列是 ()A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定数列的增减性【答案】D【解析】【分析】表示出，从差值的正负来判断即可。【详解】 无法判断正负 与的大小无法比较，故选：D。【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列的增减性判断。2.若则下列不等关系中不一定成立的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由同向不等式的相加性可知，由可得，由，因此正确考点：不等式性质3.
2、命题R，的否定为 ()A. R， B. R，C. R， D. R，【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定直接写出即可。【详解】命题R，的否定为：故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。4.抛物线的准线方程为 ()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线的准线方程即可求解。【详解】由抛物线方程得：。所以，抛物线的准线方程为故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题。5.已知，下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由基本不等式得，由即可判断三个数的大小关系。【详解】 ，又， 故选：D【点睛】本题主要考查
3、了基本不等式及等价转化思想，属于基础题。6.设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 6【答案】B【解析】试题分析：设的前三项为，则由等差数列的性质，可得，所以，解得，由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，所以，故选B考点：等差数列的性质7.等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便详解：是等比数列，也是等比数列，故选A点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比
4、数列8.不等式的解集为 ( )A. R B. R，且 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由变形为即可求得不等式解集【详解】 ， ， 所以不等式的解集为：R，且 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次不等式得解法，属于基础题9.当时，函数的最小值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对变形为，利用基本不等式求解。【详解】 可化为，又当且仅当时，故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等，属于基础题。10.设变量满足，则的最大值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出表示的平面区域，求出区域的顶点坐标，分别代入即可求得最大值
5、。【详解】作出表示的平面区域，如图：将A,B,C三点坐标分别代入得：，所以，故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。11.双曲线的渐近线方程为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程公式直接求解。【详解】双曲线的渐近线方程为：双曲线的渐近线方程为：。故选：D。【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。12.已知向量，A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，利用向量的模的公式求解即可。【详解】
6、 ， = 故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及模的计算，属于基础题。 13.已知正方体中，分别为棱 的中点，则直线与所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解。【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,， ,直线与所成角的余弦值为：.故选：D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题。14.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ()A. B. C. D. 【答案】B【
7、解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.【此处有视频，请去附件查看】第卷（非选择题 共80分）二、填空题(本大题共4道小题，每小题5分,共20分) 15.不等式解集为_.【答案】 【解析】【分析】不等式等价于，从而求解。【详解】不等式等价于，原不等式得解集为：【点睛】本题主要考查了分式不等式的
8、解法，考查了转化思想，属于基础题。16.在等差数列中，已知，则_.【答案】【解析】【分析】整理得： ，利用即可求解。【详解】 ，又 。【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，属于基础题。17.已知向量，则_【答案】【解析】【分析】由列方程，由列方程，问题得解。【详解】 ， ,解得：，所以【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，计算比较简单，属于基础题。18.已知点是抛物线上到直线的距离最短的点，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设是抛物线上的点，则点到直线的距离为：=，求使得最大的即可解决问题。【详解】设是抛物线上的点，则点到直线的距离为：=，又， = ，当且仅
9、当时，等号成立。此时 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式，还考查了转化思想及二次函数性质，计算量一般，属于中档题。三、解答题(本大题共5道小题，满分60分)19.已知在等差数列中，.(1)求公差及通项公式;(2)求前和公式及的最大值.【答案】（1） (2) , 【解析】【分析】（1）由，列方程组求解，再利用等差数列的通项公式求解。（2）利用等差数列求和公式表示出，再利用二次函数性质求解。【详解】（1） . ，即：，又 ，（2） ，当时，【点睛】（1）主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前和公式，属于基础题。（2）主要考查了等差数列的前和公式及二次函数的性质，属于基础题。20.已知（1
10、）解不等式；（2）作出函数的图象，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1）(2)【解析】【分析】（1）对的范围分类，去绝对值，再解不等式组即可（2）分段作出函数的图象，结合图像求解。【详解】（1），不等式可化为：或或，解得：或或，综上：（2）作出的图像如下图：要使得恒成立，则，即：【点睛】（1）考查了绝对值不等式得解法去绝对值，转化成一元一次不等式组求解即可。（2）考查了恒成立问题，还考查了转化思想，把问题转化成函数的最值问题解决即可。21.已知：双曲线 .（1）求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程.【答案】(1)，焦点，
11、顶点，离心率；(2)【解析】【分析】（1）由双曲线 可得：，从而求得：，问题得解。（2）设所求双曲线的方程为：，将代入即可求得，问题得解。【详解】双曲线 ，所以， ，双曲线的焦点坐标，顶点坐标，离心率。（2）设所求双曲线的方程为：，将代入上式得：，解得：所求双曲线的方程为：。【点睛】（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题。（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为： 则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：，属于基础题。22.如下图所示，在四棱锥中， 底面四边形，四边形是直角梯形，且，点是棱的中点，是上的点，且.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求与平面所成的角的
12、正弦值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，从而求出的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式求解。（2）求出平面的法向量，求出与的夹角余弦值，从而求出与平面所成的角的正弦值。【详解】(1)建系以为原点，如图，所以 (2），设是平面的法向量，则，即，取所以与平面所成的角的正弦值.【点睛】（1）主要考查了空间向量的应用-空间直线夹角问题转化成空间向量夹角问题，还考查了向量的坐标运算。（2）主要考查了空间向量的应用-空间线面角问题转化成向量夹角问题求解，还考查了向量的坐标运算。23.已知椭圆且与过焦点的直线相交于两点，是的中点， 的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由直线过焦点求得：，联立直线与椭圆方程得：，表示出，再由是的中点， 的斜率为列方程即可解决问题。（2）联立直线与椭圆方程，求得.从而求得，再利用两点距离公式求得，求出点到直线的距离，利用三角形面积公式求解。【详解】(1)因直线过椭圆的焦点， 所以，又由得，代入椭圆方程得，即设，则，所以，而，所以椭圆(2）联立消去得，解得.， 又点到直线的距离，所以【点睛】（1）本题主要考查了设而不求方法，考查了方程思想，两点斜率公式及韦达定理，计算量一般，属于中档题。（2）考查了方程思想，两点距离公式及三角形面积公式，属于中档题。
