1、9.3圆的方程,第九章平面解析几何,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,圆的定义与方程,知识梳理,定点,定长,(a，b),r,D2E24F0,1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.,【知识拓展】,2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上： ；(2)点在圆外： ；(3)点在圆内： .,(x0a)2(y
2、0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)20.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,(4)方程x22axy20一定表示圆.()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则 Dx0Ey0F0.()(6)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(),1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.(2018南昌模拟)以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是 A.(x3)2(y1)21 B.(x3)2(y1)21C.(x3)2(y1)21 D.(x3)2(y1)21,答案,1,2,3,4,5,6,3.圆C的圆心在x轴
3、上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为 .,解析,1,2,3,4,5,6,答案,(x2)2y210,解析设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，,圆C的方程为(x2)2y210.,题组三易错自纠4.若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是,解析,1,2,3,4,5,6,答案,5.若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是 A.11或a1 D.a4,解析,1,2,3,4,5,6,答案,解析点(1,1)在圆内，(1a)2(a1)24，即1a0)，又圆与直线4x3y0相切，,1,2,3,4,5,6,答案,圆的
4、标准方程为(x2)2(y1)21.故选A.,题型分类深度剖析,典例 (1)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为 .,题型一圆的方程,师生共研,解析,(x3)2y22,答案,解析方法一由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过点B且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，,所以圆C的方程为(x3)2y22.,方法二设圆方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，因为点A(4,1)，B(2,1)都在圆上，,故所求圆的方程为(x3)2y22.,(2)已知圆C经过P(2,4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为 .,解析,x
5、2y22x4y80或x2y26x8y0,答案,解析设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，,又令y0，得x2DxF0. 设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，即(x1x2)24x1x236，得D24F36， 由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.,(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.,跟踪训练 (2017广东七校联考)一个圆与y轴
6、相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2 ，则该圆的方程为 .,解析,x2y26x2y10或x2y26x2y10,答案,解析方法一所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，,故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，,由于所求圆与y轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0， ,故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,方
7、法三设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，,在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切，0，则E24F.,即(DE)2562(D2E24F).,D3E0.,故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.,典例 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.,题型二与圆有关的最值问题,师生共研,解答,解设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，,几何画板展示,1.在本例的条件下，求 的最大
8、值和最小值.,解答,的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.,设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，,解答,求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差.,与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题
9、；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.,跟踪训练 已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上.(1)求 的最大值和最小值；,解答,解方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24.,表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示.,设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，,(2)求xy的最大值与最小值.,解答,解设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆(x3)
10、2(y3)24相切时，b取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，,解答,题型三与圆有关的轨迹问题,师生共研,典例 (2017潍坊调研)已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；,解设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y).因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.,几何画板展示,(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.,解答,解设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|
11、.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.,几何画板展示,求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,跟踪训练 (2017河北衡水中学调研)已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；,解答,解方法一设C(x，y)，
12、因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，,化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0).方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0).,(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.,解答,解设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，,所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0).,利用几何性质巧设方程求半径,思想方法,典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.,思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的
