1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十节 第二课时 函数的极值与最值 课时作业 A 组 基础对点练 1设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ( x)，且函数 f(x)在 x 2 处取得极小值，则函数 y xf ( x)的图象可能是 ( ) 解析： f(x)在 x 2 处取得极小值， 在 x 2 附近的左侧 f ( x)0.在 x 2 附近的右侧 f ( x)0，当 22(e 是自然对数的底数 )，若 f(2)是函数 f(x)的最小值，则 a 的取值范围是 ( ) A 1,6 B 1,4 C 2,4 D 2,6 解析：当 x2 时，对函数 f(x) xln x a 10 的单调性进行研
2、究，求导后发现 f(x)在 (2，e)上单调递减，在 (e， ) 上单调递增，即函数 f(x)在 x2 时的最小值为 f(e)；当 x2时， f(x) (x a)2 e 是对称轴方程为 x a 的二次函数，欲使 f(2)是函数的最小值，则? af f ? a 1 a6 ?2 a6 ，故选 D. 答案： D =【 ;精品教育资源文库 】 = 7 (2018 昆明市检测 )已知函数 f(x)? 22 x， x 2，34x2 3x 4， x2 ， 若不等式 a f(x) b 的解集恰好为 a， b，则 b a _. 解析：由函数 f(x)的解析式知，函数 f(x)在 ( ， 2)上单调递减，在 2，
3、 )上单调递增， f(x)min f(2) 1，若 a 1，则不等式 a f(x) b 的解集为 x1， x2 x3， x4，不合题意，所以 a1 ，此时因为 22 1 2，所以 b2 ，令 34m2 3m 4 m，解得 m 43或 m 4，取b 4.令 22 x 4 得 x 0，所以 a 0，所以 b a 4. 答案： 4 8已知函数 f(x) mx mx2 1 ln x 在 (e， ) 上有极 值点，则实数 m 的取值范围为 _ 解析： f(x) mx mx2 1 ln x m xx x ln x mx 1 ln x，定义域为 x|x 0 且x1 ， f( x) mx 2 1x x2 m
4、x 1x x 2 ，记 g(x) x2 (m 2)x 1，要使函数f(x)在 (e， ) 上有极值点，则方程 x2 (m 2)x 1 0 有两个不同的实根 x1， x2， (m 2)2 4 0，解得 m 0 或 m 4.又 x1x2 1，因为 f(x)在 (e， ) 上有极值点，不妨设 x2 e，所以 0 x1 1e e x2，由于 g(0) 1 0，所以只需? g 0，g 1e 0， 即? e2 m 1 0，1e2 m 1e 1 0，解得 m e 1e 2. 答案： (e 1e 2， ) 9设函数 f(x) ex ax 1. (1)若函数 f(x)在 R 上单调递增，求 a 的取值范围； (
5、2)当 a 0 时，设函数 f(x)的最小值为 g(a)，求证： g(a)0. 解析： (1)由题意知 f( x) ex a0 对 x R 均成立，且 ex 0，故 a 的取值范围为 a0. (2)证明：当 a 0 时，由 f( x) ex a 可得， 函数 f(x)在 ( ， ln a)上单调递减，在 (ln a， ) 上单调递增， 故函数 f(x)的最小值为 g(a) f(ln a) eln a aln a 1 a aln a 1，则 g( a) ln a， 故当 a (0,1)时， g( a) 0，当 a (1， ) 时， g( a) 0，从而可知 g(a)在 (0,1)上单调递增，在
6、(1， ) 上单调递减，且 g(1) 0，故 g(a) g(1)，即 g(a)0. 10已知函数 f(x) ax2 1(a 0)， g(x) x3 bx. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 a 3， b 9 时，若函数 f(x) g(x)在区间 k,2上的最大 值为 28，求 k 的取值范围 解析： (1)f( x) 2ax， g( x) 3x2 b. 因为曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线， 所以 f(1) g(1)且 f(1)
7、g(1) ，即 a 1 1 b 且 2a 3 b， 解得 a 3， b 3. (2)记 h(x) f(x) g(x)，当 a 3， b 9 时， h(x) x3 3x2 9x 1， 所以 h( x) 3x2 6x 9. 令 h( x) 0，得 x1 3， x2 1. h( x)， h(x)在 ( ， 2上的变化情况如下表所示： x ( ， 3) 3 ( 3,1) 1 (1,2) 2 h( x) 0 0 h(x) 28 4 3 由表可知当 k 3 时，函数 h(x)在区间 k,2上的最大值为 28； 当 3 k 2 时，函数 h(x)在区间 k,2上的最大值小于 28. 因此 k 的取值范围是
8、( ， 3 B 组 能力提升练 1已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是 ( ) A ? x0 R， f(x0) 0 B函数 y f(x)的图象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间 ( ， x0)单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点，则 f( x0) 0 解析：若 y f(x)有极小值点，则其导数 y f( x)必有 2 个零点，设为 x1， x2(x10，可得 x 1，令 f( x)0， f(x)单调递增，故当 x 2k 2( k Z)时， f(x)取极小值，=【 ;精品教育资源文库 】 = 其极小值为 f(2k 2) e2k 2
9、(k Z)，又 0 x2 016 ， f(x)的各极小值之和 S e2 e4 e2 016 e2 e2 0161 e2 ，故选 A. 答案： A 5 (2018 云南五市联考 )直线 x a(a 0)分别与曲线 y 2x 1， y x ln x 交于 A， B 两点，则 |AB|的最小值为 _ 解析：设 A(a， yA)， B(a， yB)，则 yA 2a 1， yB a ln a所以 |AB| |yA yB| |a 1ln a|.令 f(a) a 1 ln a，则 f( a) 1 1a，所以函数 f(a)在 (0,1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增，于是当 a 1 时， f(a)取得
10、最小值 2，即 |AB|min 2. 答案： 2 6 (2018 长沙市模拟 )在半径为 R 的圆内，作内接等腰 ABC，当底边上的高 h (0， t时， ABC 的面积取得最大值 3 3R24 ，则 t 的取值范围为 _ 解析：令等腰 ABC 的底边为 2x，则 x2 R2 (h R)2 2hR h2，又 S xh h2 hR h2 ，令 f(h) h2(2hR h2)， 0 h 2R，求导得 f( h) 2h2(3R 2h)，令 f( h) 0，得 h 3R2 ，当 0 h 3R2 时， f( h) 0，函数 f(h)单调递增，当 3R2 h 2R 时， f( h) 0，函数 f(h)单调
11、递减， f(h)max f(3R2) 2716R4， Smax 3 3R24 ， h3R2 (0， t，故 t 的取值范围为3R2 ， 2R) 答案： 3R2 ， 2R) 7 (2018 合肥市质检 )已知函数 f(x) xln x x k(x 1)在 (1， ) 内有唯一零点 x0，若 k (n， n 1)， n Z，则 n _. 解析：依题意，函数定义域为 (0， ) ， f( x) ln x x 1x 1 k ln x 2 k，令 ln x 2 k 0，解得 x ek 2，当 x (0， ek 2)时， f( x) 0，当 x (ek 2， )时， f( x) 0.因为 f(1) 1，且
12、函数 f(x) xln x x k(x 1)在 (1， ) 内有唯一零点 x0，所以，当 ek 2 1 时， f(x)在 (1， ) 上单调递增，此时， f(x)在 (1， ) 上无零点，不合题意当ek 21 时，由于 x ek 2时， f(x)取极小值， 若 f(ek 2) 0，则 f(x)在 (1， ) 上有两个零点，不合题意；当 ek 21 且 f(ek 2) 0 时，f(x)在 (1， ) 上无零点，不合题意；当 ek 21 且 f(ek 2) 0 时，符合题意，所以=【 ;精品教育资源文库 】 = ? ek 21 ，k ek 2 0， 令 g(k) k ek 2(k2) ， g( k
13、) 1 ek 2 0 在 (2， ) 上恒成立，所以g(k)在 (2， ) 上单调递减，因为 g(3) 3 e 0， g(4) 4 e2 0，又 k (n， n 1)， n Z，所以 3 k 4，所以 n 3. 答案： 3 8已知函数 f(x) ex(ax b) x2 4x，曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程为 y 4x 4. (1)求 a， b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值 解析： (1)f( x) ex(ax a b) 2x 4. 由已知得 f(0) 4， f(0) 4，故 b 4， a b 8. 从而 a 4， b 4. (2)由 (1)
14、知 f(x) 4ex(x 1) x2 4x， f( x) 4ex(x 2) 2x 4 4(x 2)? ?ex 12 . 令 f( x) 0，得 x ln 2 或 x 2. 从而当 x ( ， 2) ( ln 2， ) 时， f( x) 0； 当 x ( 2， ln 2)时， f( x) 0. 故 f(x)在 ( ， 2)， ( ln 2， ) 上单调递增，在 ( 2， ln 2)上单调递减 当 x 2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f( 2) 4(1 e 2) 9已知函数 f(x) ? ?a 12 x2 ln x， g(x) f(x) 2ax.(a R) (1)当 a 0 时，求 f
15、(x)在区间 ? ?1e， e 上的最小值； (2)若 ? x (1， ) ， g(x) 0 恒成 立，求 a 的取值范围 解析： (1)函数 f(x) ? ?a 12 x2 ln x 的定义域为 (0， ) ， 当 a 0 时， f(x) 12x2 ln x， 则 f( x) x 1x x2 1x x xx . 当 x ? ?1e， 1 时， f( x) 0；当 x 1， e时， f( x) 0， f(x)在区间 ? ?1e， 1 上是增函数，在区间 1， e上为减函数， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 f? ?1e 1 12e2， f(e) 1 e22， f(x)min f(e) 1 e22. (2)g(x) f(x) 2ax ? ?a 12 x2 2ax ln x， 则 g(x)的定义域为 (0， ) ， g( x) (2a 1)x 2a 1x a x2 2ax 1x x a x 1x ， 若 a 12，则令 g( x) 0，得 x1 1， x2 12a 1， 当 x2 x1 1，即 12 a 1 时， 在 (0,1)上有 g( x) 0，在 (1， x2)上有 g( x) 0，在 (x2， ) 上有 g( x) 0， 此时 g(x)在区间 (x2， ) 上是增函数，并且在该区间上有 g(x) (g(x2)， ) ，不合题意；
