1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 双曲线 课时作业 A 组 基础对点练 1已知 F为双曲线 C： x2 my2 3m(m0)的一个焦点，则点 F到 C的一条渐近线的距离为 ( ) A. 3 B 3 C. 3m D 3m 解析：双曲线方程为 x23my23 1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 3.选 A. 答案： A 2已知双曲线 x2a2y23 1(a0)的离心率为 2，则 a ( ) A 2 B 62 C. 52 D 1 解析：因为双曲线的方程为 x2a2y23 1，所以 e2 1 3a2 4，因此 a2 1， a 1.选 D. 答案： D 3双曲线 x2 4y2 1 的渐近线方程为
2、 ( ) A x2 y 0 B y2 x 0 C x4 y 0 D y4 x 0 解析：依题意，题中的双曲线即 y214 x2 1，因此其渐近线方程是 y214 x2 0，即 x2 y 0，选 A. 答案： A 4已知双曲线 x23 y2 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线上，且满足 |PF1| |PF2| 2 5，则 PF1F2的面积为 ( ) A 1 B 3 C. 5 D 12 解析：在双曲线 x23 y2 1 中， a 3， b 1， c 2.不防设 P 点在双曲线的右支上，则有 |PF1| |PF2| 2a 2 3，又 |PF1| |PF2| 2 5， |PF1|
3、5 3， |PF2| 5 3.又 |F1F2|=【 ;精品教育资源文库 】 = 2c 4，而 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2， PF1 PF2， S PF1F2 12| PF1| PF2| 12( 53)( 5 3) 1.故选 A. 答案： A 5已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)，直线 l： y 2x 2.若直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线且经过 C 的一个顶点，则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A 1 B 2 C. 5 D 4 解析：根据题意，双曲线 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)，其焦点在 x 轴上，渐近线方程为y
4、bax，又由直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线，可知 ba 2，直线 l： y 2x 2 与 x 轴的交点坐标为 (1,0)，即双曲线 C 的一个顶点坐标为 (1,0)，即 a 1，则 b 2a 2，故双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 2，故选 B. 答案： B 6已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 5 12 B 2 C. 2 D 2 2 解析 ： 不妨设双曲线的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 因为焦点 F(c,0)到渐近线 bx ay 0的距离为 a， 所以 bca2 b2 a， 即 bcc a， 所以 ba 1， 所以该双
5、曲线的离心率 e ca 1 ba 2 2， 故选 C. 答案 ： C 7 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1的离心率 e54， 且其右焦点为 F2(5,0)， 则双曲线 C的方程为 ( ) A.x24y23 1 Bx29y216 1 C.x216y29 1 Dx23y24 1 解析 ： 由题意得 e 1 b2a254， 又右焦点为 F2(5,0)， a2 b2 c2， 所以 a2 16， b2 9，故双曲线 C 的方程为 x216y29 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： C 8已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x
6、y 0垂直，则双曲线的方程为 ( ) A.x24 y2 1 B x2 y24 1 C.3x2203y25 1 D3x25 3y220 1 解析：由题意得 c 5， ba 12，则 a 2， b 1，所以双曲线的方程为 x24 y2 1. 答案： A 9 (2018 山西八 校联考 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c，直线 y 33 (x c)与双曲线的一个交点 P 满足 PF2F1 2 PF1F2，则双曲线的离心率 e 为 ( ) A. 2 B 3 C 2 3 1 D 3 1 解析 ： 直线 y 33 (x c)过左焦点 F1
7、， 且其倾斜角为 30 ， PF1F2 30 ， PF2F160 ， F2PF1 90 ， 即 F1P F2P. |PF2| 12|F1F2| c， |PF1| |F1F2|sin 60 3c，由双曲线的定义得 2a |PF1| |PF2| 3c c， 双曲线 C 的离心率 e ca c3c c2 31， 选 D. 答案： D 10已知 F1， F2是双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的两个焦点， P 是双曲线 C 上一点，若 |PF1| |PF2| 6a，且 PF1F2最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是 ( ) A. 2x y 0 B x 2y 0 C 2
8、x y 0 D x2 y 0 解析：不妨设 |PF1|PF2|，则? |PF1| |PF2| 2a，|PF1| |PF2| 6a， 所以 |PF1| 4a， |PF2| 2a，且 |F1F2| 2c，即 |PF2|为最小边，即 PF1F2 30 ，则 PF1F2为直角三角形，所以 2c 2 3a，所以 b 2a，即渐近线方程为 y 2x，故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： A 11已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C的方程为 ( ) A.x220y25 1 Bx25y220 1 C.x280y22
9、0 1 Dx220y280 1 解析：依题意? a2 b2 251 ba2 ，解得 ? a2 20b2 5 ， 双曲线 C 的方程为 x220y25 1. 答案： A 12已知双曲线过点 (4， 3)，且渐近线方程为 y 12x，则该双曲线的标准方程为 _ 解析：法一：因为双曲线过点 (4， 3)且渐近线方程为 y 12x，故点 (4， 3)在直线 y 12x 的下方设该双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)，所以? 42a2 3 2b2 1，ba12，解得? a 2，b 1， 故双曲线方程为x24 y2 1. 法二：因为双曲线的渐近线方程为 y 12x，故可设双曲线为 x2
10、4 y2 ( 0) ，又双曲线过点 (4， 3)，所以 424 ( 3)2 ，所以 1，故双曲线方程为 x24 y2 1. 答案： x24 y2 1 13双曲线 ： y2a2x2b2 1(a0， b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 的实轴长等于 _ 解析：双曲线的焦点 (0,5)到渐近线 y abx，即 ax by 0 的距离为 |5b|a2 b2 5bc b 3，所以 a 4,2a 8. 答案： 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 14已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)与椭圆x29y24 1 有相同的焦点，且 双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 x，则双
11、曲线 C 的方程为 _ 解析：易得椭圆的焦点为 ( 5， 0)， ( 5， 0)， ? a2 b2 5，ba 2， a2 1， b2 4， 双曲线 C 的方程为 x2 y24 1. 答案 ： x2 y24 1 15 (2018 合肥市质检 )双曲线 M： x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，直线x a 与双曲线 M 的渐近线交于点 P，若 sin PF1F2 13，则该双曲线的离心率为 _ 解析：不妨设 P 为直线 x a 与双曲线 M 的渐近线在第一象限内的交点，则 P 点坐标为 (a，b)，因为 sin PF1F2 13，所以 |PF1| 3b，所以 (a
12、 c)2 b2 9b2，即 9a2 2ac 7c2 0,7e2 2e 9 0，又 e1，解得 e 97. 答案： 97 B 组 能力提升练 1已知 F1， F2是双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足2|PF1 PF2 | F1F2 |，则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A (1， 2 B (1,2 C 2， ) D 2， ) 解析： 2|PF1 PF2 | F1F2 |?4|OP |2 c?|OP | c2，又 |OP | a， a c2，即 c2 a， e ca2. 故选 D. 答案： D 2若实数 k 满足 00)，以原点为圆心，双
13、曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条 渐近线相交于 A， B， C， D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为 ( ) A.x243y24 1 Bx244y23 1 C.x24y24 1 Dx24y212 1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为 y b2=【 ;精品教育资源文库 】 = x，圆的方程为 x2 y2 4，不妨设交点 A 在第一象限， 由 y b2x， x2 y2 4 得 xA 44 b2，yA 2b4 b2，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 32b4 b2 2b，解得 b2 12，故所求的双曲线方程为 x
14、24y212 1，选 D. 答案： D 6已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，以 |F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3,4)，则此双曲线的方程为 ( ) A.x216y29 1 Bx23y24 1 C.x29y216 1 Dx24y23 1 解析：因为以 |F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3,4)，所以 c 5， ba 43，又c2 a2 b2，所以 a 3， b 4，所以此双曲线的方程为 x29y216 1. 答案： C 7过双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为
15、点 A，与另一条渐近线交于点 B，若 FB 2FA ，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B 3 C 2 D 5 解析：不妨设 B(x， bax)， |OB| x2 bax 2 c，可取 B( a， b)，由题意可知点 A为 BF 的中点，所以 A(c a2 ， b2)，又点 A 在直线 y bax 上，则 ba c a2 b2， c 2a， e 2. 答案： C 8若直线 l1和直线 l2相交于一点，将直线 l1绕该点逆时针旋转到与 l2第一次重合时所转的角为 ，则角 就称为 l1到 l2的角， tan k2 k11 k1k2，其中 k1， k2分别是 l1， l2的斜率，已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F， A 是右顶点， P 是直线 xa2c上的一点， e是双曲线的离心率，直线 PA 到 PF 的角为 ，则 tan 的最大值为 ( ) A.1e B e1 e =【 ;精品教育资源文库 】 = C. e2 1 e D e2 解析：设 PA， PF 的斜率分别为 k3， k4，由题意可知 tan k4 k31 k3k4，不妨
