1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系 A组 基础题组 1.直线 mx+ny=4和圆 O:x2+y2=4没有交点 ,则过点 (m,n)的直线与椭圆 + =1的交点 ( ) A.至多有一个 B.有 2个 C.有 1个 D.没有 2.已知直线 x-y-1=0与抛物线 y=ax2相切 ,则 a等于 ( ) A. B. C. D.4 3.设直线 y=kx与椭圆 + =1相交于 A,B两点 ,分别过 A,B向 x轴作垂线 ,若垂足恰为椭圆的两个焦点 ,则k 等于 ( ) A. B. C. D.2 4.已知直线 y=2 (x-1)与抛 物线 C:y2=4x交于 A,B两点 ,点
2、 M(-1,m),若 =0,则 m等于 ( ) A. B. C. D.0 5.已知椭圆 C: + =1(ab0),F( ,0)为其右焦点 ,过 F且垂直于 x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆 C的方程为 . 6.如图 ,过抛物线 y= x2的焦点 F 的直线 l 与抛物线和圆 x2+(y-1)2=1交于 A,B,C,D四点 ,则 = . 7.已知抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1).过点 作直线 l与抛物线 C交于不同的两点 M,N,过点 M作 x轴的垂线分别 与直线 OP,ON交于点 A,B,其中 O为原点 . (1)求抛物线 C的方程 ,并求其焦点坐标和准线方程 ; (2)求
3、证 :A为线段 BM 的中点 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.(2018贵州贵阳质检 )已知椭圆 C: + =1(ab0)过点 ,离心率为 ,左 ,右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交椭圆于 A,B两点 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)当 F 2AB 的面积为 时 ,求直线的方程 . B组 提升题组 1.过抛物线 y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦 AB,CD,则 + 等于 ( ) A.2 B.4 C. D. 2.若椭圆的 中心在原点 ,一个焦点为 (0,2),直线 y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1,则这个椭圆的方程为 . 3.设椭圆 + =1(ab0)的
4、左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 .已知 A是抛物线 y2=2px(p0)的焦点 ,F 到抛物线的准线 l的距离为 . (1)求椭圆的方程和抛物线的方程 ; (2)设 l 上两点 P,Q关于 x轴对称 ,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B异于点 A),直线 BQ与 x轴相交于点 D.若APD 的面积为 ,求直线 AP 的方程 . 4.如图 ,已知椭圆 +y2=1 上两个不同的点 A,B关于直线 y=mx+ 对称 . (1)求实数 m的取值范围 ; (2)求 AOB 面积的最大值 (O 为坐标原点 ). =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组
5、基础题组 1.B 直线 mx+ny=4和圆 O:x2+y2=4 没有交点 , 2,m 2+n2b0)过点 , 所以 + =1. 又因为离心率为 ,所以 = , 所以 = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立 解得 a2=4,b2=3. 所以椭圆 C的方程为 + =1. (2)当直线的倾斜角为 时 ,A,B 点的坐标为 , ,则 = |AB|F 1F2|= 32=3 . 当直线的倾斜角不为 时 ,设直线 方程为 y=k(x+1), 代入 + =1得 (4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=- ,x1x2= , 所以 = |
6、y1-y2|F 1F2| =|k| =|k| = = , 所以 17k4+k2-18=0, 解得 k2=1 ,所以 k=1, 所以所求直线的方程为 x-y+1=0或 x+y+1=0. B组 提升题组 1.D 由抛物线 y2=4x,可知 2p=4, 设弦 AB 所在直线 l1的倾斜角为 ( 为锐角 ),弦 CD所在直线 l2的倾斜角为 +, AB,CD为过焦点的弦 ,|AB|= , =【 ;精品教育资源文库 】 = |CD|= = , 所以 + = + = = .故选 D. 2. 答案 + =1 解析 因为椭圆的中心在原点 ,一个焦点为 (0,2), 所以 a2-b2=4, 所以可设椭圆方程为
7、+ =1, 联立得 得 (10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0, 设直线 y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为 (x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系及题意得 y1+y2= =2,解得 b2=8. 所以 a2=12. 所以椭圆的方程为 + =1. 3. 解析 (1)设 F的坐标为 (-c,0).依题意 , = , =a,a-c= ,解得 a=1,c= ,p=2,于是 b2=a2-c2= . 所以 ,椭圆的方程为 x2+ =1,抛物线的方程为 y2=4x. (2)设直线 AP的方程为 x=my+1(m0), 与直线 l的方程 x=-1联
8、立 ,可得点 P ,故 Q .将 x=my+1与 x2+ =1联立 ,消去 x,整理得 (3m2+4)y 2+6my=0,解得 y=0或 y= .由点 B异于点 A,可得点B .由 Q ,可得直线 BQ的方程为 (x+1)- +1 =0,令 y=0,解得=【 ;精品教育资源文库 】 = x= ,故 D .所以 |AD|=1- = .又因为 APD 的面积为 ,故 = ,整理得3m2-2 |m|+2=0,解得 |m|= ,所以 m= . 所以 ,直线 AP的方程为 3x+ y-3=0或 3x- y-3=0. 4. 解析 (1)由题意知 m0, 可设直线 AB 的方程为 y=- x+b. 由 消去 y, 得 x2- x+b2-1=0. 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y2=1有两个不同的交点 , 所以 = -2b2+2+ 0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2= , 将 AB的中点 代入直线 方程 y=mx+ ,解得 b=- . 由 得 m . (2)令 t= , =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 |AB|= , 且 O 到直线 AB的距离为 d= . 设 AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AB|d= . 当且仅当 t2= 时 ,等号成立 . 故 AOB 面积的最大值为 .
