1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三单元 三角函数、解三角形 第 16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 课前双击巩固 1.角的概念的推广 (1)定义 :角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 . (2)分类 :按旋转方向分为 、 和零角 ;按终边位置分为 和轴线角 . (3)终边相同的角 :所有与角 终边相同的角 ,连同角 在内 ,构成的角的集合是 S= . 2.弧度制的定义和公式 (1)定义 :把长度等于 的弧所对的圆心角叫作 1弧度的角 .弧度记作 rad. (2)公式 : 角 的弧度数的绝对值 |= (弧长用 l表示 ) 角度与弧度的换算 1 = r
2、ad, 1 rad= 弧长公式 弧长 l= 扇形面积公式 S= lr= |r 2 3.任意角的三角函数 (1)定义 :设 是一个任意角 ,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin = ,cos = ,tan = (x 0). (2)几何表示 (单位圆中的三角函数线 ):图 3-16-1中的有向线段 OM,MP,AT 分别称为角 的 、 和 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 3-16-1 常用结论 象限角与 轴线角 (1)象限角 (2)轴线角 题组一 常识题 1.教材改编 终边在射线 y=- x(x0且 a 1)的图像过定点 P,且角 的终边过点 P,则 sin + cos 的值
3、为 ( ) A. B. C. D. (2)2017北京卷 在平面直角坐标系 xOy中 ,角 与角 均以 Ox为始边 ,它们的终边关于 y轴对称 .若 sin = ,则 sin = . 总结反思 三角函数定义主要应用于两方面 : (1)已知角的终边上一点 P的坐标 ,则可先求出点 P到原点的距离 ,然后用三角函数定义求解三角函数值 .特别地 ,若角 的终边落在某条直线上 ,一般要 分类讨论 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知角 的某个三角函数值 ,可依据三角函数值设出角 终边上某一 符合条件的点的坐标 来解决相关问题 . 考向 2 三角函数值的符号判定 4 (1)使 lg(sin
4、cos )+ 有意义的 为 ( ) A.第一象限角 B.第二 象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)若角 的终边落在直线 y=-x上 ,则 + = . 总结反思 要判定三角函数值的符号 ,关键是要搞清三角函数中的角是 第几 象限角 ,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号 .如果角不能确定所在象限 ,那就要进行 分类讨论 求解 . 考向 3 三角函数线的应用 5 函数 f(x)= +ln sin x- 的定义域为 . 总结反思 利用三角函数线解三角不等式 ,通常采用 数形结合 的方法 ,一般来说 sin xb,cos x a,只需作直线 y=b,x=a与单位圆相交 ,连接原点与
5、交点即得角的终边所在的位置 ,此时再根据方向即可确定相应的 x的范围 . 强化演练 1.【考向 1】点 P从点 ,- 出发 ,沿单位圆按逆时针方向运动 后到达 Q点 ,若 的始边在 x轴的正方向上 ,终边在射线 OQ上 ,则 sin = ( ) A.1 B.-1 C. D.- 2.【考向 2】已知角 的终边在第一象限 ,点 P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点 ,若 cos sin ,则实数 a的取值范围是 . 3.【考向 3】满足 cos - 的角 的集合为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课前双击巩固 1.同角三角函数的基本关系式
6、(1)平方关系 : . (2)商数关系 : . 2.诱导公式 公式 一 公式 二 公式 三 公式 四 公式 五 公式 六 角 + 2k (kZ) + - - - + 正弦 sin sin cos cos 余弦 cos cos sin 正切 tan -tan 口诀 函数名不变 ,符号看象限 函数名改变 ,符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变 ,符号看象限 常用结论 1.sin(k + )=(-1)ksin . 2.在 ABC中 : (1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C; (2)sin =cos ,cos =sin . =【 ;精品教育资
7、源文库 】 = 题组一 常识题 1.教材改编 已知 cos = ,且 是第四象限角 ,则 sin 的值为 . 2.教材改编 已知 =-5,那么 tan 的值为 . 3.教材 改编 已知 sin = ,则 cos = . 4.教材改编 求值 :sin(-1200) cos 1290 = . 题组二 常错题 索引 :平方关系没有考虑角的象限导致出错 ;扩大角的范围导致出错 ;不会运用消元的思想 ;k 形式没有把 k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错 . 5.已知 ABC中 , =- ,则 cos A等于 . 6.已知 cos + =- ,且 是第四象限角 ,则 cos(-3 + )= . 7.已知
8、=5,则 sin2 -sin cos = . 8.已知 A= + (k Z),则 A的值构成的集合是 . 课堂考点探究 探究点一 三角函数的诱导公式 1 (1)已知 f( )= ,则 f = ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. B. C. D.- (2)2017邢台一中月考 已知 cos(75 + )= ,则 sin( -15) +cos(105 - )的值是( ) A. B. C.- D.- 总结反思 (1)已知角求值问题 ,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解 .转化过程中注意口诀“ 奇变偶不变 ,符号看象限 ”的应用 . (2)对给定的式子进行化简
9、或求值时 ,要注意给定的角之间存在的特定关系 ,充分利用给定的关系结合 诱导公式将角进行转化 .特别要注意每一个角所在的象限 ,防止符号及三角函数名出错 . 式题 (1)2017龙岩六校联考 sin 300 +tan 600 的值是 ( ) A.- B. C.- + D. + (2)若 sin - = ,则 cos + = . 探究点二 同角三角函数的基本关系 考向 1 切弦互化 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 (1)2017亳州三模 已知 x , ,tan x=- ,则 cos -x- 等于 ( ) A. B.- C.- D. (2)2017江西重点中学一联 设 0 , 且 sin +
10、 = ,则 tan + 的值是 ( ) A. B.- C. D.- 总结反思 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值 ,主要利用商数关系 tan = 和平方关系 1=sin2+ cos2. 考向 2 “ 1”的变换 3 (1)2017常德一中期中 已知 tan x=2,则 2sin2x-sin xcos x+cos2x的值为 . (2)2017桂林模拟 已知 sin x-cos x= ,x 0, ,则 tan x= . 总结反思 对于含有 sin2x,cos2x,sin xcos x的三角函数求值题 ,一般可以考虑添加分母1,再将 1用“ sin2x+cos2x
11、”代替 ,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于 tan 的式子 ,从而求解 . 考向 3 和积转换 4 若 sin + cos = - ,0 , 则 sin + cos - 的值为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 总结反思 对于 sin + cos ,sin -cos ,sin cos 这三个式子 ,利用 (sin cos )2=1 2sin cos 可以达到转换、知一求二的目的 . 强化演练 1.【考向 1】已知 cos x+sin x= ,x (0,), 则 tan x等于 ( ) A.- B.- C.2 D.-2 2.【考向 2】若 tan = 2,则 4sin2 -3sin cos -5cos2= . 3.【考向 3】若 sin ,cos 是方程 4x2+2mx+m=0的两根 ,则 m的值为 . 第 18讲 三角函数的 图像与性质 课前双击巩固 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 (下表中 k Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 定义域 R R x x R,且 x k + ,k Z 值域 周期性 2 2
