1、=【 ;精品教育资源文 库 】 = 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与一元二次不等式 1两个实数比较大小的依据 (1)a b 0?a b. (2)a b 0?a b. (3)a b 0?a b. 2不等式的性质 (1)对称性： ab?bb， bc?ac； (3)可加性： ab?a cb c； ab， cd?a cb d； (4)可乘性： ab， c0?acbc； ab0， cd0?acbd； (5)可乘方性： ab0?anbn(n N， n1) ； (6)可开方性： ab0?n a n b(n N， n2) 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b2 4ac
2、 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象 一元二次方程 ax2bx c 0 (a 0)的根 有两相异实数根 x1，x2(x1 x2) 有两相等实数根 x1x2 b2a 没有实数根 一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0)的解集 x|xx2 ?xx b2a R 一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0)x|x1 x x2 ? ? =【 ;精品教育资源文 库 】 = 的解集 在不等式 ax2 bx c0(a0) 中，如果二次项系数 ab， a b， a1，则 ab.( ) (3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变 ( ) (4)一个非零实数越大
3、，则其倒数就越小 ( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性 ( ) (6)若不等式 ax2 bx c0.( ) (7)若方程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c0的解集为 R.( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2函数 f(x) 3x x2的定义域为 ( ) A 0,3 B (0,3) C ( ， 0 3， ) D ( ， 0) (3， ) 解析：选 A 要使函数 f(x) 3x x2有意义，则 3x x20 ，即 x2 3x0 ，解得 0 x3 . 3若 a1a B.1a1b C |a|b| D a2b2 解析：选 A
4、取 a 2， b 1，则 1a b1a不成立 4若集合 A x|ax2 ax 10 且 a2 4a0 ，得00 的解集是 ? ? 12， 13 ，则 a b 的值是 _ 解析：由题意知 12， 13是方程 ax2 bx 2 0 的两根， =【 ;精品教育资源文 库 】 = 则? 12 13 ba， 12 13 2a，解 得? a 12，b 2. 所以 a b 14. 答案： 14 6若 1b， cd，则 acbd B若 acbc，则 ab =【 ;精品教育资源文 库 】 = C若 ac2b， cd，则 a cb d 解析：选 C 取 a 2， b 1， c 1， d 2，可知 A 错 误；当
5、cbc?a0， a5 . (4)原不等式变为 (ax 1)(x 1) 0， 因为 a 0，所以 a? ?x 1a (x 1) 0. 所以当 a 1，即 1a1 时，解为 1 x 1a. 综上，当 0 a 1 时，不等式的解集为?x? 1 x 1a ； 当 a 1 时，不等式的解集为 ?； 当 a 1 时，不等式的解集为?x? 1a x 1 . 解题师说 1 解一元二次不等式的 4 个步骤 一化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 =【 ;精品教育资源文 库 】 = 二判 计算对应方程的判别式 三求 求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根 四写 利用 “ 大于取两边，小
6、于取中间 ” 写出不等式的解集 2分式不等式的解法 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式 (组 )求解 (1)f xg x 0(0(f(1)的解集是( ) A ( 3,1) (3， ) B ( 3,1) (2， ) C ( 1,1) (3， ) D ( ， 3) (1,3) 解 析 ： 选 A 由 题 意 知 f(1) 3 ， 故 原 不 等 式 可 化 为 x3 或 x0 ， x2 4x 63， 解得 33，所以原不等式的解集为 ( 3,1) (3， ) ，故选 A. 2已知不等式 ax2 bx 10 的解集是 ? ? 12， 13 ，则不等式 x2 bx a 0
7、的解集是( ) A (2,3) B ( ， 2) (3， ) C.? ?13， 12 D.? ? ， 13 ? ?12， 解析：选 A 由题意知 12， 13是方程 ax2 bx 1 0 的两根， =【 ;精品教育资源文 库 】 = 所以由根与系数的关系得 ? 12 ? ? 13 ba， 12 ? ? 13 1a. 解得 a 6， b 5， 不等式 x2 bx a 0 即为 x2 5x 6 0，解集为 (2,3) 3求不等式 12x2 axa2(a R)的解集 解：原不等式可化为 12x2 ax a20， 即 (4x a)(3x a)0， 令 (4x a)(3x a) 0，解得 x1 a4，
8、x2 a3. 当 a0 时，不等式的解集为 ? ? ， a4 ? ?a3， ； 当 a 0 时，不等式的解集为 ( ， 0) (0， ) ； 当 a0 a0， 0， 0 ax2 bx c0 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f(x)0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值 (或范围 ) (2)转化为函数值域问题，即 已知函数 f(x)的值域为 m， n，则 f(x) a 恒成立 ?f(x)min a，即 m a； f(x) a 恒成立 ?f(x)max a，即 n a. 角度 (三 ) 形如 f(x)0( 参数 m a， b)确定 x 的范围 3对任意 m 1,1，
9、函数 f(x) x2 (m 4)x 4 2m 的值恒大于零，求 x 的取值范围 解：由 f(x) x2 (m 4)x 4 2m (x 2)m x2 4x 4， 令 g(m) (x 2)m x2 4x 4. 由题意知在 1,1上， g(m)的值恒大于零， 所以? g x x2 4x 40，g x x2 4x 40， 解得 x3. =【 ;精品教育资源文 库 】 = 故当 x ( ， 1) (3， ) 时，对任意的 m 1,1，函数 f(x)的值恒大于零 题型技法 一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量 x 范围的方法 解决恒成立问题 一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解 冲关演练 1若不等式 2kx2 kx 38N
