1、第二节古典概型,总纲目录,教材研读,1.基本事件的特点,考点突破,2.古典概型,考点二古典概型的交汇问题,考点一简单古典概型的求法,1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件的和.,教材研读,2.古典概型(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.(i)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(ii)每个基本事件出现的可能性相等.(2)古典概型的概率公式:P(A)=?.,1.一枚硬币连掷2次,只有一次出现正面的概率为?()A.?B.?C.?D.,D,答案D一枚硬币连掷2次可能出现(正,正)、(反,反)、(正,反)
2、、(反,正)四种情况,只有一次出现正面的情况有两种,P=?=?,故选D.,2.袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,取到白球的概率为?()A.?B.?C.?D.,答案A从15个球中任取一球有15种取法,取到白球有6种,所以取到白球的概率P=?=?.,A,3.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是?()A.?B.?C.?D.,C,答案C甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的有乙甲丙,丙甲乙共两种情况,因此,甲站在中间的概率为?=?.,4.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数
3、为b,则ba的概率是?()A.?B.?C.?D.,D,答案D令选取的a,b组成实数对(a,b),则共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共15种情况,其中ba有(1,2),(1,3),(2,3),共3种情况,所以ba的概率为?=?.故选D.,5.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.,答案,解析有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,有33=9种结果,
4、其中甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的结果有3种,故所求概率为?=?.,6.某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,那么质检人员从中随机抽出2听,检测出都是合格产品的概率为.,答案,解析记A1,A2,A3,A4为合格产品,B1,B2为不合格产品,基本事件为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种.检测出都合格的产品有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,
5、A4),(A3,A4),共6种.故检测出都是合格产品的概率为P=?=?.,典例1(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.,考点一简单古典概型的求法,考点突破,规律总结,1.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)=?,求出事件A的概率.,2
6、.基本事件个数的确定方法,1-1(2017课标全国,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为?()A.?B.?C.?D.,D,答案D画出树状图如图:?可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P=?=?.故选D.,1-2某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶
7、.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.,解析用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数为16.(1)记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=?,即小亮获得玩具的概率为?.(2)记“xy8”为事件B,“3xy?,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.,典例2设连续掷两次骰子
8、得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,3).(1)求使得事件“ab”发生的概率;(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率.,考点二古典概型的交汇问题命题方向一与平面向量相结合的问题,解析(1)由题意知,m1,2,3,4,5,6,n1,2,3,4,5,6.故(m,n)所有可能的取法共36种.由ab得n=3m,则(m,n)的取法共有2种,即(1,3),(2,6).所以事件“ab”发生的概率为?=?.(2)由|a|b|得m2+n210,则(m,n)的取法共有6种,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).所以事件“|a|b|”发生的概率为?=?.
9、,典例3(1)从集合A=-2,-1,2中随机抽取一个数记为a,从集合B=-1,1,3中随机抽取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为?()A.?B.?C.?D.?(2)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为.,命题方向二与直线、圆相结合的问题,答案(1)A(2),典例4以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法,目前,国内青蒿人工种植发展迅速,调查表明,人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化:0表
10、示不合格,1表示临界合格,2表示合格,再用综合指标=x+y+z评定人工种植的青蒿的长势等级:若4,则长势为一级;若23,则长势为二级;若01,则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况,研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地,得到如下结果:,命题方向三与统计相结合的问题,(1)若该地有青蒿人工种植地180个,试估计这些种植地中长势等级为三级的个数;(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个,求这2个人工种植地的综合指标均为4的概率.,解析(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标,可得下表:,由上表可知,长势等级为三级的种植地只有A1一个,其频率为?,用样本的频率估计总体的频率
11、,可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180?=18.(2)由(1)可知,长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2,A3,A4,A6,A7,A9,共6个,从中随机抽取2个,所有的可能结果为(A2,A3),(A2,A4),(A2,A6),(A2,A7),(A2,A9),(A3,A4),(A3,A6),(A3,A7),(A3,A9),(A4,A6),(A4,A7),(A4,A9),(A6,A7),(A6,A9),(A7,A9),共计15个,综合指标=4的有A2,A3,A6,共3个,则符合题意的可能结果为,(A2,A3),(A2,A6),(A3,A6),共3个,故所求概率P=?=?.,典例5(1)
12、已知函数f(x)=?x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3中任取的一个数,b是从0,1,2中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为?()A.?B.?C.?D.?(2)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.,命题方向四与函数、方程相结合的问题,答案(1)D(2),解析(1)f (x)=x2+2ax+b2,要使函数f(x)有两个极值点,则有=(2a)2-4b20,即a2b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个
13、数表示b的取值.满足a2b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为?=?.(2)所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个.记“logab为整数”为事件A,则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.P(A)=?=?.,规律总结解决古典概型交汇问题的方法解决古典概型交汇的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.,2-1甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条,则这2条棱互相垂直的概率为?()A.?B.?C.?D.,C,答案C由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条,乙从这9条棱中任选一条,共有99=81(种)结果,满足条件的事件是这2条棱互相垂直,所有可能情况是:当甲选底面上的一条直角边时,乙有5种选法,共有4条直角边,则共有20
