1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 考纲传真 1.了解平面向量的基本定理及其意义 .2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 .3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 .4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 (对应学生用书第 59 页 ) 基础知识填充 1平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. (2)基底： 不共线 的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x
2、 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj，由于 a 与数对 (x， y)是一一对应的，把有序数对 (x， y)叫做向量 a 的坐标，记作 a (x， y) 3平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB (
3、x2 x1， y2 y1)， |AB | x2 x1 2 y2 y1 2. 4平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，其中 b0. a， b 共线 ?x1y2 x2y1 0. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确 的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的 ( ) (3)若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要
4、条件可以表示成 x1x2 y1y2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知平面向量 a (2， 1)， b (1,3)，那么 |a b|等于 ( ) A 5 B 13 C 17 D 13 B 因为 a b (2， 1) (1,3) (3,2)，所以 |a b| 32 22 13. 3 (2018 洛阳模拟 )已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 AC ( 4， 3)，则向量 BC ( ) A ( 7， 4) B (7,4) C ( 1,4) D (1,4) A AB (3,2) (0,1) (3,1)， BC AC AB ( 4， 3) (3,1) ( 7， 4) 故选 A
5、 4 (2016 全国卷 )已知向量 a (m,4)， b (3， 2)，且 a b，则 m _. 6 a (m,4)， b (3， 2)， a b， 2m 43 0， m 6. 5 (教材改编 )已知 ?ABCD的顶点 A( 1， 2)， B(3， 1)， C(5,6)，则顶点 D的坐标为 _ (1,5) 设 D(x， y)，则由 AB DC ，得 (4,1) (5 x,6 y)， 即? 4 5 x，1 6 y， 解得 ? x 1，y 5. (对应学生用书第 60 页 ) 平面向量基本定理及其应用 (1)如果 e1， e2是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量
6、的一组基底的是 ( ) A e1与 e1 e2 B e1 2e2与 e1 2e2 C e1 e2与 e1 e2 D e1 3e2与 6e2 2e1 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2018 太原模拟 )在平行四边形 ABCD中， E和 F 分别是边 CD和 BC的中点，若 AC AE AF ，其中 ， R，则 _. 【导学号： 00090130】 (1)D (2)43 (1)选项 A 中，设 e1 e2 e1，则? 1 ，1 0 无解； 选项 B 中，设 e1 2e2 (e1 2e2)，则? 1， 2 2 无解； 选项 C 中，设 e1 e2 (e1 e2)，则? 1，1 无解； 选
7、项 D 中， e1 3e2 12(6e2 2e1)，所以两向量是共线向量 (2)选择 AB ， AD 作为平面向量的一组基底，则 AC AB AD ， AE 12AB AD ， AF AB 12AD ， 又 AC AE AF ? ?12 AB ? ? 12 AD ， 于是得? 12 1， 12 1，解得? 23， 23，所以 43. 规律方法 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量 2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程 思想的运用如解答本题 (2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于
8、， 的方程组 变式训练 1 如图 421，在梯形 ABCD 中， AD BC，且 AD 13BC， E， F 分别为线段 AD与 BC 的中点设 BA a， BC b，则 EF _， DF _， CD _(用向量a， b 表示 ) 图 421 13b a 16b a a 23b EF EA AB BF 16b a 12b 13b a， DF DE EF 16b=【 ;精品教育资源文库 】 = ?13b a 16b a， CD CF FD 12b ?16b a a23B 平面向量的坐标运算 已知 A( 2,4)， B(3， 1)， C( 3， 4)设 AB a， BC b， CA c，且 CM
9、3c， CN 2b， (1)求 3a b 3c； (2)求满足 a mb nc 的实数 m， n； (3)求 M， N 的坐标及向量 MN 的坐标 解 由已知得 a (5， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 3 24) (6， 42) (2) mb nc ( 6m n， 3m 8n)， ? 6m n 5， 3m 8n 5， 解得 ? m 1，n 1. (3)设 O 为坐标原点 CM OM OC 3c， OM 3c OC (3,24) ( 3， 4) (0,20) M(0,20) 又 CN O
10、N OC 2b， ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2)， N(9,2)， MN (9， 18) 规律方法 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程 (组 )求解 2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言 “ 坐标语言 ” ，实质是 “ 形 ”化为 “ 数 ” 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来 变式训练 2 (2017 合肥三次质检 )已知 a (1， t)， b (t， 6)，则 |2a b|的
11、最小值为 _ 2 5 由条件得 2a b (2 t,2t 6)，所以 |2a b| t 2 t 2t 2 20，当 t 2 时， |2a b|的最小值为 2 5. 平面向量共线的坐标表示 已知 a (1,0)， b (2,1) (1)当 k 为何值时， ka b 与 a 2b 共线？ =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 AB 2a 3b， BC a mb 且 A、 B、 C 三点共线，求 m 的值 . 【导学号： 00090131】 解 (1)ka b k(1,0) (2,1) (k 2， 1)， a 2b (1,0) 2(2,1) (5,2) ka b 与 a 2b 共线， 2(k
12、2) ( 1)5 0，即 2k 4 5 0，得 k 12. (2)法一： A、 B、 C 三点共线， AB BC ， 即 2a 3b (a mb)， ? 2 3 m ， 解得 m 32. 法二： AB 2a 3b 2(1,0) 3(2,1) (8,3)， BC a mb (1,0) m(2,1) (2m 1， m) A、 B、 C 三点共线， AB BC . 8m 3(2m 1) 0，即 2m 3 0， m 32. 规律 方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1 0； (2)若 a b(
13、a0) ，则 b A 2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解 变式训练 3 (1)(2017 郑州模拟 )已知向量 a (1 sin ， 1)， b ? ?12， 1 sin ，若 a b，则锐角 _. (2)已知向量 OA (1， 3)， OB (2， 1)， OC (k 1， k 2)，若 A， B， C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 _ (1) 4 (2)k1 (1)由 a b，得 (1 sin )(1 sin ) 12， 所以 cos2 12， 所以 cos 22 或 22 ，又 为锐角，所以 4. (2)若点 A， B， C 能构成三角形， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则向量 AB ， AC 不共线 因为 AB OB OA (2， 1) (1， 3) (1,2)， AC OC OA (k 1， k 2) (1， 3) (k， k 1)， 所以 1( k 1) 2k0 ， 解得 k1.
