1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 .3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 .4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 .6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 (对应学生用书第 74 页 ) 基础知识填充 1平面向量的数量积 (1)向量的夹角 定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图 431，作 OA a， OB b，则 AOB
2、(0 180) 叫作 a 与 b 的夹角 图 431 当 0 时， a 与 b 同向 当 180 时， a 与 b 反向 当 90 时， a 与 b 垂直 (2)向量的数量积 定义：已知两个向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 a b，即 a b |a|b|cos ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为 0 ，即 0 a 0. (3)数量积 的几何意义：数量积 a b等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的射影 |b|cos 的乘积，或 b 的长度 |b|与 a 在 b 方向上射影 |a|cos 的乘积 2平面向量数量积
3、的运算律 (1)交换律： a b b a； (2)数乘结合律： ( a) b (a b) a( b)； (3)分配律： a( b c) a b a c. 3平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)， a， b 结论 几何表示 坐标表示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 模 |a| a a |a| x21 y21 数量积 a b|a|b|cos a b x1x2 y1y2 夹角 cos a b|a|b| cos x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22a b a b 0 x1x2 y1y2 0 |a b|与 |a|b|的关系 |a b|
4、a|b| |x1x2 y1y2| x21 y21 x22 y22 知识拓展 两个向量 a， b 的夹角为锐角 ?ab 0 且 a， b 不共线； 两个向量 a， b 的夹角为钝角 ?ab 0 且 a， b 不共线 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量 ( ) (2)由 ab 0，可得 a 0 或 b 0.( ) (3)向量 a b 的充要条件： ab 0?x1x2 y1y2 0.( ) (4)若 ab 0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab 0，则 a 和 b 的夹角为钝角
5、 ( ) (5)ab ac (a0) ，则 b c.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (2016 全国卷 ) 已知向量 BA ? ?12， 32 ， BC ? ?32 ， 12 ，则 ABC ( ) A 30 B 45 C 60 D 120 A 因为 BA ? ?12， 32 ， BC ? ?32 ， 12 ，所以 BA BC 34 34 32 .又因为 BA BC |BA|BC |cos ABC 11cos ABC，所以 cos ABC 32 .又 0 ABC180 ，所以 ABC 30. 故选 A 3向量 a (1， 1)， b ( 1,2)，则 (2a b) a
6、( ) A 1 B 0 C 1 D 2 C 法一： a (1， 1)， b ( 1,2)， a2 2， a b 3， 从而 (2a b) a 2a2 a b 4 3 1. 法二： a (1， 1)， b ( 1,2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 a b (2， 2) ( 1,2) (1,0)， 从而 (2a b) a (1,0)(1 ， 1) 1，故选 C 4 (教材改编 )已知 |a| 5， |b| 4， a 与 b 的夹角 120 ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 _ 2 由数量积的定义知， b 在 a 方向上的投影为 |b|cos 4cos 120 2. 5 (201
7、7 全国卷 ) 已知向量 a ( 1,2)， b (m,1)若向量 a b 与 a 垂直，则 m_. 7 a ( 1,2)， b (m,1)， a b ( 1 m,2 1) (m 1,3) 又 a b 与 a 垂直， ( a b) a 0， 即 (m 1)( 1) 32 0， 解得 m 7. (对应学生用书第 75 页 ) 平面向量数量积的运算 (1)(2017 南宁二次适应性测试 )线段 AD， BE 分别是边长为 2 的等边三角形 ABC 在边 BC， AC 边上的高，则 AD BE ( ) A 32 B 32 C 3 32 D 3 32 (2)(2017 北京高考 )已知点 P 在圆 x
8、2 y2 1 上，点 A 的坐标为 ( 2,0)， O 为原点，则 AO AP 的最大值为 _. 【导学号： 79140156】 (1)A (2)6 (1)由等边三角形的性质得 |AD | |BE | 3， AD ， BE 120 ，所以AD BE |AD |BE |cos AD ， BE 3 3 ? ? 12 32，故选 A (2)法一：根据题意作出图像，如图所示， A( 2,0)， P(x， y) 由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q，则点 Q 的坐标为 (x,0) =【 ;精品教育资源文库 】 = AO AP |AO |AP |cos ， |AO | 2， |AP | (x 2)
9、2 y2， cos AQAP x 2(x 2)2 y2， 所以 AO AP 2(x 2) 2x 4. 点 P 在圆 x2 y2 1 上，所以 x 1,1 所以 AO AP 的最大值为 2 4 6. 法二：如图所示，因为点 P 在圆 x2 y2 1 上， 所以可设 P(cos ， sin )(0 2) ， 所以 AO (2,0)， AP (cos 2， sin )， AO AP 2cos 42 4 6， 当且仅当 cos 1，即 0， P(1,0)时 “ ” 号成立 规律方法 向量数量积的两种计算方法 当已 知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，即 ab |a|b|cos . 当已知向量的坐标
10、时，可利用坐标法求解，即若 a x1， y1 ， b x2， y2 ，则 ab x1x2 y1y2. 易错警示： 要有 “ 基底 ” 意识，关键是用基向量表示题目中所求相关向量 . 注意向量夹角的大小，以及夹角 0 ， 90 ， 180 三种特殊情形 . 跟踪训练 (1)(2018 太原模拟 (二 )已知 a (2,1)， b ( 1,1)，则 a 在 b 方向上的投影为 ( ) A 22 B 22 C 55 D 55 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为 _；DE DC 的最大值为 _ (1)A (2)1 1 由题意，得 |b| 2，
11、 ab 1，所以 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos ab|b| 22 ，故选 A 法一：以射线 AB， AD 为 x 轴， y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1,0)，C(1,1)， D(0， 1)，设 E(t,0)， t0,1 ，则 DE (t， 1)， CB (0， 1)，所以 DE CB (t， 1)(0 ， 1) 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 DC (1,0)，所以 DE DC (t， 1)(1,0) t1 ， 故 DE DC 的最大值为 1. 法二：由图知，无论 E 点在哪个位置， DE 在 CB 方向上的投影都是 CB 1，所以 DE
12、 CB |CB |1 1， 当 E 运动到 B 点时， DE 在 DC 方向上的投影最大，即为 DC 1， 所以 (DE DC )max |DC |1 1. 平面向量数量积的性质 角度 1 平面向量的模 (2018 合肥二检 )设向量 a， b 满足 |a b| 4， ab 1，则 |a b| ( ) A 2 B 2 3 C 3 D 2 5 B 由 |a b| 4 两边平方可得 |a|2 |b|2 16 2ab 14，则 |a b| |a b|2|a|2 2ab |b|2 12 2 3，故选 B 角度 2 平面向量的夹角 (2018 济南一模 )设向量 a 与 b 的夹角为 ，若 a (3，
13、1)， b a ( 1,1)，则 cos _. (2)已知平面向量 a， b的夹角为 120 ，且 a b 1，则 |a b|的最小值为 ( ) A 6 B 3 C 2 D 1 (1)3 1010 (2)A (1)由题意得向量 b (b a) a (2,0)，所以 cos ab|a|b|32 ( 1)0102 3 1010 . (2)由题意可知： 1 a b |a| b|cos 120 ，所以 2 |a| b| |a|2 |b|22 .=【 ;精品教育资源文库 】 = 即 |a|2 |b|24 ， |a b|2 a2 2a b b2 a2 b2 24 2 6， 所以 |a b| 6. 角度 3
14、 平面向量的垂直 (2018 深圳二调 )已知平面向量 a， b，若 |a| 3， |b| 2， a 与 b 的夹角 6 ，且 (a mb) a，则 m ( ) A 12 B 1 C 3 D 2 B 由 (a mb) a 可得 (a mb) a a2 mab 3 m 32cos 6 0，解得 m 1，故选 B 规律方法 平面向量数量积性质的应用类型与求解策略 求两向量的夹角： cos ab|a| b|，要注意 0 ， . 两向量垂直的应用： a b?ab 0?|a b| |a b|. 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 aa |a|2或 |a| aa . | a b| (a b)2 a22 ab b2.
