1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 单元评估检测 (六 ) 第 6 章 不等式、推理与证明 (120 分钟 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1若 a 0， b 0，且 a b 4，则下列不等式恒成立的是 ( ) A.1ab 12 B 1a 1b1 C. ab2 D 1a2 b2 18 答案 D 2若集合 A x|x2 7x 10 0，集合 B?x? 12 2x 8 ，则 A B ( ) A ( 1,3) B ( 1,5) C (2,5) D (2,3) 答案 D 3已知 a， b， x， y
2、都是正实数，且 1a 1b 1， x2 y2 8，则 ab 与 xy 的大小关系为 ( ) A ab xy B ab xy C ab xy D ab xy 答案 B 4不 等式 ax2 bx 2 0 的解集是 ? ? 12， 13 ，则 a b 的值是 ( ) 【导学号： 79140422】 A 10 B 10 C 14 D 14 答案 D 5 (2018 济宁模拟 )在坐标平面内，不等式组? y2| x| 1，y x 1 所表示的平面区域的面积为 ( ) A 2 2 B 83 C.2 23 D 2 答案 B 6若 1 a 0，则关于 x 的不等式 (x a) ? ?x 1a 0 的解集是 (
3、 ) A x|x a B ? ?x|x 1a C ? ?x|x a或 x 1a D ? ?x|x 1a或 x a 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 7已知数列 an为等差数列，若 am a， an b(n m1 ， m， n N )，则 am n nb man m .类比等差数列 an的上述结论，对于等比数列 bn(bn 0， n N )，若 bm c， bn d(n m2 ，m， n N )，则可以得到 bm n ( ) A (n m)(nd mc) B (nd mc)n m C.n m dncm Dn m dn cm 答案 C 8已知函数 f(x) 16x2 28x 114x 5
4、 ?x 54 ，则函数 f(x)的最大值为 ( ) A.114 B 54 C 1 D 14 答案 C 9 (2017 临汾模拟 )若实数 x， y 满足不等式组? y0 ，x y0 ，2x y 20 ，则 y 1x 1的取值范围是 ( ) A.? ? 1， 13 B ? ? 12， 13 C ? ? 12， D ? ? 12， 1 答案 D 10当 x 0 时， x2 1 2x，在用分析法证明该不等式时执果索因 ，最后索的因是 ( ) A x 0 B x20 C (x 1)20 D (x 1)20 答案 C 11已知实数 x， y 满足 x y 0 且 x y 14，则 2x 3y 1x y的
5、最小值为 ( ) 【导学号： 79140423】 A 1 B 2 C 6 4 2 D 8 4 2 答案 C 12设 x R， x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得 t 1， t2 2， ? ， tn n 同时成立，则正整 数 n 的最大值是 ( ) A 3 B 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 5 D 6 答案 B 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上 ) 13已知 a b 0，则 a， b， ab， a b2 四个数中最大的一个是 _ 答案 a 14已知 a0， b0， ab 8，则当 a 的值为 _时， log2alo
6、g 2(2b)取得最大值 答案 4 15某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 _ 答案 30 12(n 1)(n 2) 16已知 A( 1,0)， B(0， 1)， C(a， b)三点共线，若 a 1， b 1，则 1a 1 1b 1的最小值为 _ 答案 4 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 )已知数列 an的前 n 项和 Sn 2n2 n. (1)证明 an是等差数列； (2
7、)若 bn 1anan 1，数列 bn的前 n 项和为 Tn，试证明 Tn 14. 证明 (1)因为 Sn 2n2 n. 所以 a1 S1 1. 当 n2 时， an Sn Sn 1 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3. 对 n 1 也成立，所以 an 4n 3. an 1 an 4(n 1) 3 4n 3 4，是常数 所以数列 an是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列 (2)由 (1)得 bn 1(4n 3)(4n 1) 14? ?14n 3 14n 1 所以 Tn 14? ?1 15 ? ?15 19 ? ?19 113 ? ? ?14n 3 14n 1 14? ?1 1
8、4n 1 14. =【 ;精品教育资源文库 】 = 18 (本小题满分 12 分 )如图 61，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB 平面 ABCD， AB AD， BAD 60 ， E， F 分别是 AP， AB 的中点 图 61 求证： (1)直线 EF 平面 PBC； (2)平面 DEF 平面 PAB. 解 略 19 (本小题满分 12 分 )已知 f(x) x2 ax b. (1)求 f(1) f(3) 2f(2)； (2)求证： |f(1)|， |f(2)|， |f(3)|中至少有一个不小于 12. 【导学号： 79140424】 解 (1)因为 f(1) a b 1， f(2)
9、2a b 4， f(3) 3a b 9，所以 f(1) f(3) 2f(2) 2. (2)假设 |f(1)|， |f(2)|， |f(3)|都小于 12，则 12 f(1) 12， 12 f(2) 12， 12f(3) 12. 所以 1 2f(2) 1， 1 f(1) f(3) 1， 所以 2 f(1) f(3) 2f(2) 2， 这与 f(1) f(3) 2f(2) 2 矛盾， 所以假设错误，即所证结论成立 20 (本小题满分 12 分 )已知变量 x， y 满足条件? x 4y 30 ，3x 5y25 ，x 10 ，z 2x y.设 z 的最大值、最小值分别为 M， m. (1)若 a 0
10、， b 0，且 1a 1b m，试求 12a 36b 5 的最小值； (2)若 m a b M，试求 a2 b2的最小值 解 (1)21 8 3 (2)92 21 (本小题满分 12 分 )据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在 10 吨至 25 吨时，月=【 ;精品教育资源文库 】 = 生产总成本 y(万元 )可以看成月产量 x(吨 )的二次函数当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元 (1)写出月总成本 y(万元 )关于月产量 x(吨 )的函数解析式； (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元 ，那么月产量为多少时，可获得最
11、大利润； (3)若 x10 ， c(10 c25) ，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？ 解 (1)由题意，设 y a(x 15)2 17.5(a 0)， 把 x 10， y 20 代入，得 25a 20 17.5， a 110，所以 y 110(x 15)2 17.5 110x2 3x 40， x10,25 (2)设月利润为 g(x)，则 g(x) 1.6x ? ?110x2 3x 40 110(x2 46x 400) 110(x 23)2 12.9， 因为 x10,25 ，所以当 x 23 时， g(x)max 12.9. 即当月产量为 23 吨时，可获最大利润 (
12、3)每吨平均成本为 yx110x40x 32 4 3 1. 当且仅当 x10 40x ，即 x 20 时 “ ” 成立 因为 x10 ， c， 10 c25 ， 所以 当 20 c25 时， x 20 时，每吨平均成本最低，最低为 1 万元 当 10 c 20 时， yx 110x 40x 3 在 10， c上单调递减， 所以当 x c 时， ? ?yx min c10 40c 3. 故当 20 c25 时，月产量为 20 吨时，每吨平均成本最低，最低为 1 万元； 当 10 c 20 时，月产量为 c 吨时，每吨平均成本最低，最低为 ? ?c10 40c 3 万元 22 (本小题满分 12
13、分 )在数列 an， bn中， a1 2， b1 4，且 an， bn， an 1成等差数列， bn，an 1， bn 1成等比数列 (n N ) (1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜测 an， bn的通项公式，并证明你的结论； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明： 1a1 b1 1a2 b2 ? 1an bn 512. 【导学号： 79140425】 解 (1)由条件得 2bn an an 1， a2n 1 bnbn 1， 由此可得 a2 6， b2 9， a3 12， b3 16， a4 20， b4 25，猜测 an n(n 1)(n N )， bn
14、(n 1)2(n N ) 用数学归纳法证明： 当 n 1 时，由上可得结论成立 假设当 n k(k1 ， k N )时，结论成立，即 ak k(k 1)， bk (k 1)2， 那么当 n k 1 时， ak 1 2bk ak 2(k 1)2 k(k 1) (k 1)(k 2)， bk 1 a2k 1bk (k 1)2(k 2)2(k 1)2 (k 2)2， 所以当 n k 1 时，结论也成立 由 ，可知 an n(n 1)， bn (n 1)2对一切正整数都成立 (2) 当 n 1 时， 1a1 b1 16 512. 当 n2 时，由 (1)知 an bn n(n 1) (n 1)2 (n 1)(2n 1) 2(n 1)n. 所以 1an bn 12n(n 1)， 故 1a1 b1 1a2 b2 ? 1an bn 16 12? ?123 134 ? 1n(n 1) 16 1212 13 13 14 ? 1n 1n 1 16 12? ?12 1n 1 16 14 512. 由 可知原不等式成立
