1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 不等式的性质与一元二次不等式 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 (组 )的实际背景 .2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 .3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 (对应学生用书第 92 页 ) 基础知识填充 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法? a b 0?a ba b 0?a b(a， b R)；a b 0?a b(2)作商法? ab 1?a bab 1?a b(a R，
2、b 0).ab 1?a b2不等式的性质 (1)对称性： ab?bb， bc?ac； (3)可加性： ab?a cb c； ab， cd?a cb d； (4)可乘性： ab， c0?acbc； ab， cb0， cd0?acbd； (5)乘方法则： ab0?anbn(n2 ， n N)； (6)开方法则： ab0?n an b(n2 ， n N)； (7)倒数性质：设 ab0，则 a1b. 3 “ 三个二次 ” 的关系 判别式 b2 4ac 0 0 0)的图像 一元二次方程 ax2bx c 0 (a0)的根 有两相异实根x1， x2(x10 (a0)的解集 x|xx2 x|x x1 R ax
3、2 bx c0)的解集 x|x10，则 ab?1a0 对任意实数 x 恒成立 ? a b 0，c0 或 ? a0， b?ac2bc2.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)ab0， cd0?adbc.( ) (4)若不等式 ax2 bx c0.( ) (5)若方程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c0 的解集为R.( ) (6)若二次函数 y ax2 bx c 的图像开口向下，则不等式 ax2 bx c 0 的解集一定不是空集 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2已知 a， b 是实数，则 “ a 0 且 b 0” 是 “
4、 a b 0 且 ab 0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 C ? a 0，b 0 ? a b 0，ab 0， 又当 ab 0 时， a 与 b 同号，结合 a b 0 知 a 0 且 b 0，故 “ a 0 且 b 0” 是 “ a b 0 且 ab 0” 的充要条 件 3若 a， b R，且 ab，则下列不等式恒成立的是 ( ) A a2b2 B ab1 C 2a2b D lg(a b)0 C 取 a 1， b 2，排除 A， B， D.故选 C. 4不等式 x2 3x 40 的解集为 _ (用区间表示 ) ( 4,1) 由 x2 3x
5、 40 得 x2 3x 40 的解集为 ( 4,1) 5 (教材改编 )若不等式 ax2 bx 2 0 的解集为?x? 12 x 13 ，则 a b _. 14 由题意知 x1 12， x2 13是方程 ax2 bx 2 0 的两个根，则? ba 12 13，2a1213，解得? a 12，b 2 (经检验知满足题意 ) a b 14. (对应学生用书第 93 页 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 比较大小与不等式的性质 (1)已知实数 a， b， c 满足 b c 6 4a 3a2， c b 4 4a a2，则 a， b， c 的大小关系是 ( ) A c b a B a c b C c
6、 b a D a c b (2)(2017 山东高考 )若 ab0，且 ab 1，则下列不等式成立的是 ( ) A a 1bb0， ab 1， log 2(a b)log2(2 ab) 1. b2a1a2a a 12 a，令 f(a) a 12 a， 又 b 1a， ab0， a1a，解得 a1. f( a) a 22 a a 12 aln 2 a 22 a(1 aln 2)a blog2(a b)， b2ab0， ab 1， 取 a 2， b 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 此时 a 1b 4， b2a 18， log2(a b) log2 52， b2a1 时，原不等式的解集为
7、(1， a)； 当 a 1 时，原不等式的解集为 ?； 当 a1. 若 a0， 解得 x1. 若 a0，原不等式等价于 ? ?x 1a (x 1)1 时， 1a1，解 ? ?x 1a (x 1)1 ； 当 a 0 时，解集为 x|x1；当 01 时，解集为?x? 1a0 的解集是 ? ?x| 1212 (1)?x? x 43或 x 5 (2)B (1)将原不等式移项通分得 3x 4x 5 0 ， 等价于? (3x 4)(x 5)0 ，x 50 ， 解得 x43或 x 5. 原不等式的解集为?x? x 43或 x 5 . (2) 不等式 ax2 bx 10 的解集是 ? ?x| 120 时， g
8、(x)在 1,3上是增函数， 所以 g(x)max g(3)?7m 60， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因为 m(x2 x 1) 63 对任意的 k 1,1， x2 (k 4)x 4 2k0 恒成立，即 g(k) (x 2)k (x2 4x 4)0， 在 k 1,1时恒成立 只需 g( 1)0 且 g(1)0，即? x2 5x 60，x2 3x 20， 解得 x3. 规律方法 一元二次不等式恒成立问题的求解思路 形如 f x 0 或 f x x R 的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解 . 形如 f x 0 或 f x x a， b 的不等式确定参数范围时，常转
9、化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 . 形如 f x 0 或 f x 参数 m a， b 的不等式确定 x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数 . 跟踪训练 (1)(2017 四川宜宾一中期末 )不等式 x2 2x 5 a2 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围 为 ( ) A 1,4 B ( ， 22 ， ) C ( ， 14 ， ) D 2,5 (2)已知函数 f(x) x2 ax b2 b 1(a R， b R)，对任意实数 x 都有 f(1 x) f(1 x)成立，若当 x 1,1时， f(x) 0 恒成立，则 b
10、 的取值范围是 ( ) A ( 1,0) B (2， ) C ( ， 1)(2 ， ) D不能确定 (1)A (2)C (1)x2 2x 5 (x 1)2 4 的最小值为 4，所以要使 x2 2x 5 a2 3a 对任意 实数 x 恒成立，只需 a2 3a4 ，解得 1 a4. (2)由 f(1 x) f(1 x)知 f(x)的图像关于直线 x 1 对称，即 a2 1，解得 a 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因为 f(x)开口向下， 所以当 x 1,1时， f(x)为增函数， 所以 f(x)min f( 1) 1 2 b2 b 1 b2 b 2， f(x) 0 恒成立，即 b2 b 2 0 恒成立， 解得 b 1 或 b 2.
