1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲传真 (教师用书独具 )1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 .2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 .3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系 (对应学生用书第 130 页 ) 基础知识填充 1直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴 (正方向 )按逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的 倾斜角，当直线l 和 x 轴
2、平行时，它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围是 0， ) 2直线的斜率 (1)定义：当 90 时，一条直线的倾斜角 的 正切值 叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k tan_ ，倾斜角是 90 的直线斜率不存在 (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(x1 x2)的直线的斜率公式为 k y2 y1x2 x1. 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y y0 k(x x0) 不含直线 x x0 斜截式 y kx b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 y y1y2 y1 x x1x2 x1不含直线 x x1(x1 x2
3、)和直线 yy1(y1 y2) 截距式 xa yb 1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax By C 0， A2 B20 平面内所有直线都适用 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 ( ) (2)坐 标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 ( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大 ( ) (4)过定点 P0(x0， y0)的直线都可用方程 y y0 k(x x0)表示 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)
4、的直线都可以用方程 (y y1)(x2x1) (x x1)(y2 y1)表示 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2直线 3x y a 0 的倾斜角为 ( ) A 30 B 60 C 150 D 120 B 设直线的倾斜角为 ，则 tan 3， 0 ， ) ， 3. 3过点 M( 2， m)， N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ( ) A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 A 由题意知 4 mm 2 1(m 2)，解得 m 1. 4 (教材改编 )直线 l： ax y 2 a 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a _. 1 或 2 令 x
5、 0，则 l 在 y 轴上的截距为 2 a；令 y 0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1 2a. 依题意 2 a 1 2a，解得 a 1 或 a 2. 5过点 M(3， 4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 _ 4x 3y 0 或 x y 1 0 若直线过原点，则 k 43，所以 y 43x，即 4x 3y 0. 若直线不过原点，设 xa ya 1，即 x y a，则 a 3 ( 4) 1，所以直线方程为 x y 1 0. (对应学生用书第 130 页 ) 直线的倾 斜角与斜率 (1)直线 xsin y 2 0 的倾斜角的范围是 ( ) A 0， ) B.? ?0， 4 ? ?34
6、 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = C ? ?0， 4 D.? ?0， 4 ? ? 2 ， (2)若直线 l 过点 P( 3,2)，且与以 A( 2， 3)， B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是 _ (1)B (2)? ? 5， 13 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，又 sin 1,1， 0 ， ) ，所以 0 4 或 34 . (2)因为 P( 3,2)， A( 2， 3)， B(3,0)， 则 kPA 3 2 2 ( 3) 5， kPB 0 23 ( 3) 13. 如图所示，当直线 l 与线段 AB 相交时，直线 l 的斜率的取值范围为 ?
7、? 5， 13 . 规律方法 1.倾斜角 与斜率 k 的关系 当 ? ?0， 2 时， k0 ， 当 2 时，斜率 k 不存在 . 当 ? ? 2 ， 时， k ， 2.斜率的两种求法 定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 k tan 求斜率 . 公式法：若已知直线上两点 A x1， y1 ， B x2， y2 ，一般根据斜率公式 k y2 y1x2 x1x1 x2 求斜率 . 3.倾斜角 范围与直线斜率范围互求时，要充分利用 y tan 的单调性 . 跟踪训练 (1)(2017 九 江一中 )若平面内三点 A(1， a)， B(2， a2)， C(3， a3)共线，则a
8、 ( ) A 1 2或 0 B.2 52 或 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 2 52 D.2 52 或 0 (2)直线 l 经过 A(3,1)， B(2， m2)(m R)两点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是 _ (1)A (2)? ? 4 ， 2 (1) 平面内三点 A(1， a)， B(2， a2)， C(3， a3)共线， kAB kAC， 即 a2 a2 1a3 a3 1，即 a(a2 2a 1) 0， 解得 a 0 或 a 1 2.故选 A (2)直线 l 的斜率 k 1 m23 2 1 m21 ，所以 k tan 1. 又 y tan 在 ? ?0， 2 上是增函数
9、，因此 4 2. 求直线方程 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点 ( 4,0)，倾斜角的正弦值为 1010 ； (2)直线过点 ( 3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12. 【导学号： 79140262】 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 1010 (0 ) ， 从而 cos 3 1010 ，则 k tan 13. 故所求直线方程为 y 13(x 4) 即 x 3y 4 0 或 x 3y 4 0. (2)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为 xa y12 a 1，又直线过点 ( 3,4)， 从而 3a 412 a 1，解得 a 4 或
10、 a 9. 故所求直线方程为 4x y 16 0 或 x 3y 9 0. 规律方法 求直线方程应注意以下三点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件 . 对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用 若采用 点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零 截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意 “ 截距为 0” 的情况，以防漏解 . 跟踪训练 求适合下列条件的直线方程： (1)过点 P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点 A( 1， 3)，倾斜角等于直线 y 3x
11、的倾斜角的 2 倍 解 (1)当直线过原点时，方程为 y 32x，即 3x 2y 0. 当直线 l 不过原点时，设直线方程为 xa ya 1. 将 P(2,3)代入方程，得 a 1， 所以直线 l 的方程为 x y 1 0. 综上，所求直线 l 的方程为 3x 2y 0 或 x y 1 0. (2)设直线 y 3x 的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为 2 . 因为 tan 3， 所以 tan 2 2tan 1 tan2 34. 又直线经过点 A( 1， 3)， 因此所求直线方程为 y 3 34(x 1)，即 3x 4y 15 0. 直线方程的综合应用 过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x
12、 轴 ， y 轴正半轴于 A， B 两点， O 为坐标原点 (1)当 AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当 |OA| |OB|取最小值时，求直线 l 的方程 解 设直线 l： xa yb 1(a 0， b 0)， 因为直线 l 经过点 P(4,1)， 所以 4a 1b 1. (1)4a 1b 12 4a 1b 4ab， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 ab16 ，当且仅当 a 8， b 2 时等号成立， 所以当 a 8， b 2 时， AOB 的面积最小， 此时直线 l 的方程为 x8 y2 1， 即 x 4y 8 0. (2)因为 4a 1b 1， a 0， b 0，
13、所以 |OA| |OB| a b (a b) ? ?4a 1b 5 ab 4ba 5 2 ab 4ba 9，当且仅当 a 6， b 3 时等号成立， 所以当 |OA| |OB|取最小值时，直线 l 的方程为 x6 y3 1，即 x 2y 6 0. 规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 求解与直线方程有关的最值问题 .先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 . 含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出 “ 动中有定 ”. 求参数值或范围 .注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求 解 . 跟踪训练
14、 已知直线 l1： ax 2y 2a 4， l2： 2x a2y 2a2 4，当 0 a 2 时，直线 l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当 a 为何值时，四边形的面积最小？ 【导学号： 79140263】 解 由? ax 2y 2a 4，2x a2y 2a2 4， 得 x y 2， 直线 l1与 l2交于点 A(2,2)(如图 ) 易知 |OB| a2 2， |OC| 2 a， 则 S 四边形 OBAC S AOB S AOC 122( a2 2) 122(2 a) a2 a 4 ? ?a 12 2 154 ，a(0,2) ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a 12时，四边形 OBAC 的面积最小
