1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (二十一 ) 正弦定理和余弦定理 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1 (2018 兰州模拟 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C ccos B asin A，则 ABC 的形状为 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 B 由正弦定理得 sin Bcos C sin Ccos B sin2A， sin(B C) sin2A， 即 sin( A) sin2A， sin A sin2A A (0， ) ， sin A 0， sin A 1，即 A 2.
2、2在 ABC 中，已知 b 40， c 20， C 60 ，则此三角形的解的情况是 ( ) A有一解 B有两解 C无解 D有解但解的个数不确定 C 由正弦定理得 bsin B csin C， sin B bsin Cc 40 3220 3 1. 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 3 (2016 天津高考 )在 ABC 中，若 AB 13， BC 3， C 120 ，则 AC ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 A 由余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos C，即 13 AC2 9 2AC3cos 120 ，化简得 AC2 3AC 4 0，解得 AC 1 或 AC 4
3、(舍去 )故选 A 4 (2018 石家庄模拟 ) ABC 中， AB 3， AC 1， B 30 ，则 ABC 的面积等于 ( ) 【导学号： 00090111】 A 32 B 34 C 32 或 3 D 32 或 34 D 由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos B， 即 1 3 BC2 3BC，解得 BC 1 或 BC 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 BC 1 时， ABC 的面积 S 12AB BCsin B 12 31 12 34 . 当 BC 2 时， ABC 的 面积 S 12AB BCsin B 12 32 12 32 . 总上之 ， ABC 的面
4、积等于 34 或 32 . 5 (2016 全国卷 )在 ABC 中 ， B 4 ， BC 边上的高等于 13BC， 则 sin A ( ) A 310 B 1010 C 55 D 3 1010 D 过 A 作 AD BC 于 D， 设 BC a， 由已知得 AD a3. B 4 ， AD BD， BD AD a3，DC 23a， AC ? ?a3 2 ? ?23a 2 53 a， 在 ABC 中 ， 由正弦定理得 asin BAC53 asin 45 ， sin BAC 3 1010 ， 故选 D 二、填空题 6 (2018 青岛模拟 )如图 361 所示 ， 在 ABC 中 ， 已知点 D
5、 在 BC 边上 ， AD AC， sinBAC 2 23 ， AB 3 2， AD 3， 则 BD 的长为 _ 【导学号 ： 00090112】 图 361 3 sin BAC sin(90 BAD) cos BAD 2 23 ， 在 ABD 中 ， 有 BD2 AB2 AD 2AB ADcos BAD， =【 ;精品教育资源文库 】 = BD2 18 9 23 23 2 23 3， BD 3. 7 已知 ABC 中 ， AB 3， BC 1， sin C 3cos C， 则 ABC 的面积为 _ 32 由 sin C 3cos C 得 tan C 3 0， 所以 C3. 根据正弦定理可得
6、BCsin A ABsin C， 即 1sin A 332 2， 所以 sin A 12.因为 AB BC， 所以 A C， 所以 A 6 ， 所以 B 2 ， 即三角形为直角三角形 ， 故 S ABC 12 31 32 . 8 (2017 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 2bcos B acos Cccos A， 则 B _. 3 由 2bcos B acos C ccos A 及正弦定理 ， 得 2sin Bcos B sin Acos C sin Ccos A 2sin Bcos B sin(A C) 又 A B C ， A C B 2si
7、n Bcos B sin( B) sin B 又 sin B0 ， cos B 12. B 3. 三、解答题 9 (2018 陕西八校联考 )已知 ABC 内接于单位圆，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且2acos A ccos B bcos C (1)求 cos A 的值； (2)若 b2 c2 4，求 ABC 的面积 解 (1) 2acos A ccos B bcos C， 2sin Acos A sin Ccos B sin Bcos C， 即 2sin Acos A sin(B C) sin A 4 分 又 0 A ， sin A0. 2cos A 1， cos A
8、12. 6 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)知 cos A 12， sin A 32 . ABC 内接于单位圆 ， asin A 2R 2， a 2sin A 3. 8 分 由 a2 b2 c2 2bccos A， 得 bc b2 c2 a2 4 3 1， 10 分 S ABC 12bcsin A 121 32 34 . 12 分 10 (2017 云南二次统一检测 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， m (sin B,5sin A 5sin C)与 n (5sin B 6sin C， sin C sin A)垂直 (1)求 sin A 的
9、值； (2)若 a 2 2，求 ABC 的面积 S 的最大值 【导学号： 00090113】 解 (1) m (sin B,5sin A 5sin C)与 n (5sin B 6sin C， sin C sin A)垂直， m n 5sin2B 6sin Bsin C 5sin2C 5sin2A 0， 即 sin2B sin2C sin2A 6sin Bsin C5 . 3 分 根据正弦定理得 b2 c2 a2 6bc5 ， 由余弦定理得 cos A b2 c2 a22bc 35. A 是 ABC 的内角， sin A 1 cos2A 45. 6 分 (2)由 (1)知 b2 c2 a2 6b
10、c5 ， 6bc5 b2 c2 a22 bc a2. 8 分 又 a 2 2， bc10. ABC 的面积 S 12bcsin A 2bc5 4 ， ABC 的面积 S 的最大值为 4. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2016 山东高考 ) ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c 已知 b c， a2 2b2(1sin A)，则 A ( ) A 34 B 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 4 D 6 C b c， B C 又由 A B C 得 B 2 A2. 由正弦定理及 a2 2b2(1 sin A)得 sin2A 2sin2B
11、(1 sin A)， 即 sin2A 2sin2? ? 2 A2 (1 sin A)， 即 sin2A 2cos2A2(1 sin A)， 即 4sin2A2cos2A2 2cos2A2(1 sin A)， 整理得 cos2A2? ?1 sin A 2sin2A2 0， 即 cos2A2(cos A sin A) 0. 0 A ， 0 A2 2 ， cos A20 ， cos A sin A 又 0 A ， A 4. 2 如图 362，在 ABC 中， B 45 ， D 是 BC 边上的点 ， AD 5， AC 7， DC 3，则 AB的长为 _ 图 362 5 62 在 ADC 中， AD
12、5， AC 7， DC 3， 由余弦定理得 cos ADC AD2 DC2 AC22AD DC 12， 所以 ADC 120 ， ADB 60. 在 ABD 中， AD 5， B 45 ， ADB 60 ， 由正弦定理得 ABsin ADB ADsin B， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 AB 5 62 . 3 (2018 昆明模拟 )如图 363，在四边形 ABCD 中， DAB 3 ， AD AB 2 3， BD 7，AB BC 图 363 (1)求 sin ABD 的值； (2)若 BCD 23 ，求 CD 的长 . 【导学号： 00090114】 解 (1) AD AB 2 3， 可设 AD 2k， AB 3k. 又 BD 7， DAB 3 ， 由余弦定理，得 ( 7)2 (3k)2 (2k)2 23 k2 kcos 3 ， 解得 k 1， AD 2， AB 3， sin ABD ADsin DABBD 2 327 217 . (2) AB BC， cos DBC sin ABD 217 ， sin DBC 2 77 ， BDsin BCD CDsin DBC， CD7 2 7732 4 33 .
