1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (二十七 ) 平面向量的基本定理及坐标表示 A 组 基础达标 一、选择题 1下列各组向量中，可以作为基底的是 ( ) A e1 (0,0)， e2 (1， 2) B e1 ( 1,2)， e2 (5,7) C e1 (3,5)， e2 (6,10) D e1 (2， 3)， e2 ? ?12， 34 B 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 2 (2018 贵州适应性考试 )已知向量 a (2,4)， b ( 1,1)， c (2,3)，若 a b 与 c共线，则实数 ( ) A.25 B 25 C.35 D 35 B 由已知得 a b
2、(2 ， 4 )，因为向量 a b 与 c 共线，设 a b mc，所以? 2 2m，4 3m， 解得 ? 25，m 65，故选 B. 3已知 a (1,1)， b (1， 1)， c ( 1,2)，则 c 等于 ( ) 【导学号： 79140153】 A 12a 32b B 12a 32b C 32a 12b D 32a 12b B 设 c a b， ( 1,2) (1,1) (1， 1)， ? 1 ，2 ， ? 12， 32， c 12a 32b. 4已知点 A( 1,5)和向量 a (2,3)，若 AB 3a，则点 B 的坐标为 ( ) A (7,4) B (7,14) C (5,4)
3、D (5,14) =【 ;精品教育资源文库 】 = D 设点 B 的坐标为 (x， y)，则 AB (x 1， y 5) 由 AB 3a，得? x 1 6，y 5 9， 解得 ? x 5，y 14. 故点 B 的坐标为 (5,14) 5 (2017 江西南昌十校二模 )已知向量 a (1， 2)， b (x,3y 5)，且 a b，若 x， y均为正数，则 xy 的最大值是 ( ) A 2 6 B 2512 C 2524 D 256 C a b， (3 y 5)1 2x 0，即 2x 3y 5. x 0， y 0， 5 2x 3y2 6xy， xy 2524，当且仅当 3y 2x 时取等号 二
4、、填空题 6向量 a， b 满足 a b ( 1,5)， a b (5， 3)，则 b 为 _ ( 3,4) 由 a b ( 1,5)， a b (5， 3)，得 2b ( 1,5) (5， 3) ( 6,8)， b 12( 6,8) ( 3,4) 7已知向量 a (3cos ， 2)与向 量 b (3,4sin )平行，则锐角 等于 _. 【导学号： 79140154】 4 因为 a (3cos ， 2)， b (3,4sin )，且 a b，所以 3cos 4sin 23 0，解得 sin 2 1. 因为 ? ?0， 2 ，所以 2 (0 ， ) ， 所以 2 2 ，即 4. 8如图 42
5、3，已知 ?ABCD 的边 BC， CD 上的中点分别是 M， N，且 AM e1， AN e2，若 BC xe2 ye1(x， y R)，则 x y _. 图 423 23 设 AD a， AB b，则 BC a， CD b. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意得? e1 b a2，e2 a b2，解得? a 43e2 23e1，b 43e1 23e2. BC 43e2 23e1. 故 x 43， y 23， x y 23. 三、解答题 9如图 424，在梯形 ABCD 中， AD BC，且 AD 13BC， E， F 分别为线段 AD 与 BC 的中点设BA a， BC b，试用 a
6、， b 为基底表示向量 EF ， DF ， CD . 图 424 解 EF EA AB BF 16b a 12b 13b a， DF DE EF 16b ? ?13b a 16b a， CD CF FD 12b ? ?16b a a 23b. 10平面内给定三个向量 a (3,2)， b ( 1,2)， c (4,1) (1)求满足 a mb nc 的实数 m， n； (2)若 (a kc)(2 b a)，求实数 k. 解 (1)由题意得 (3,2) m( 1,2) n(4,1)， 所以? m 4n 3，2m n 2， 解得 ? m 59，n 89.(2)a kc (3 4k,2 k)， 2b
7、 a ( 5,2)， 由题意得 2(3 4k) ( 5)(2 k) 0，解得 k 1613. B 组 能力提升 11已知点 A(2,3)， B(4,5)， C(7,10)，若 AP AB AC ( R)，且点 P 在直线 x 2y 0=【 ;精品教育资源文库 】 = 上，则 的值为 ( ) A.23 B 23 C.32 D 32 B 设 P(x， y)，则由 AP AB AC ，得 (x 2， y 3) (2,2) (5,7) (2 5 ，2 7 )， x 5 4， y 7 5. 又点 P 在直线 x 2y 0 上，故 5 4 2(7 5) 0，解得 23.故选 B. 12在 ABC 中，点
8、D 在线段 BC 的延长线上，且 BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点 C， D 不重合 )，若 AO xAB (1 x)AC ，则 x 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 12 B ? ?0， 13 C.? ? 12， 0 D ? ? 13， 0 D 法一：依题意，设 BO BC ，其中 1 43，则有 AO AB BO AB BC AB (AC AB ) (1 )AB AC .又 AO xAB (1 x) AC ，且 AB 、 AC 不共线，于是有 x 1 ? ? 13， 0 ，即 x 的取值范围是 ? ? 13， 0 ，选 D. 法二： AO xAB AC xAC ， AO
9、 AC x(AB AC )，即 CO xCB 3xCD ， O 在线段CD(不含 C、 D 两点 )上， 0 3x 1， 13 x 0. 13已知向量 OA (1， 3)， OB (2， 1)， OC (k 1， k 2)，若 A， B， C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 _ k1 若点 A， B， C 能构成三角形，则向量 AB ， AC 不共线 AB OB OA (2， 1) (1， 3) (1,2)， AC OC OA (k 1， k 2) (1， 3) (k， k 1)， 1( k 1) 2k0 ，解得 k1. 14已知三点 A(a,0)， B(0， b)， C(2,2
10、)，其中 a 0， b 0. (1)若 O 是坐标原点，且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a， b 的值； (2)若 A， B， C 三点共线，试求 a b 的最小值 . 【导学号： 79140155】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)因为四边形 OACB 是平行四边形， 所以 OA BC ，即 (a,0) (2,2 b)， ? a 2，2 b 0， 解得 ? a 2，b 2. 故 a 2， b 2. (2)因为 AB ( a， b)， BC (2,2 b)， 由 A， B， C 三点共线，得 AB BC ， 所以 a(2 b) 2b 0，即 2(a b) ab， 因为 a 0， b 0， 所以 2(a b) ab ? ?a b22， 即 (a b)2 8(a b)0 ， 解得 a b8 或 a b0. 因为 a 0， b 0， 所以 a b8 ，即 a b 的最小值是 8. 当且仅当 a b 4 时， “ ” 成立
