1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十 ) 垂直关系 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1 (2018 广州模拟 )设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( ) A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m C A 中，由 m n， n 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误； B 中，由 m ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误； C 中，由 m ， n 可得 m n，又 n ，所以 m ，正确； D 中，由 m n， n ，
2、 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误 2在下列四个正方体中，能得出 AB CD 的是 ( ) A A 选项中，因为 CD 平面 AMB，所以 CD AB， B 选项中， AB 与 CD 成 60 角； C 选项中， AB 与 CD 成 45 角； D 选项中， AB 与 CD 夹角的正切值为 2. 3如图 7510，在正四面体 PABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论不成立 的是 ( ) 图 7510 A BC 平面 PDF B DF 平面 PAE C平 面 PDF 平面 PAE D平面 PDE 平面 ABC D 因为 BC DF， DF 平面
3、PDF， =【 ;精品教育资源文库 】 = BC 平面 PDF， 所以 BC 平面 PDF，故选项 A 正确 在正四面体中， AE BC， PE BC， DF BC， 所以 BC 平面 PAE，则 DF 平面 PAE，从而平面 PDF 平面 PAE.因此选项 B， C 均正确 4如图 7511，在三棱锥 DABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是 ( ) 【导学号： 00090259】 图 7511 A平面 ABC 平面 ABD B平面 ABD 平面 BCD C平面 ABC 平面 BDE，且平面 ACD 平面 BDE D平面 ABC 平面 ACD，
4、且平面 ACD 平面 BDE C 因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理有 DE AC，于是 AC 平面 BDE.因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 BDE.又 AC 平面 ACD，所以平面 ACD 平面BDE. 5 (2017 全国卷 )在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则 ( ) A A1E DC1 B A1E BD C A1E BC1 D A1E AC C 如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直， B， D 错； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1
5、C BC1， A1E BC1，故 C 正确； (证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1 平面 CEA1B1.又 A1E 平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故 A 错 二、填空题 6如图 7512 所示，在四棱锥 PABCD 中， PA 底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC=【 ;精品教育资源文库 】 = 上的 一动点，当点 M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可 ) 图 7512 DM PC(或 BM PC 等 )
6、 由定理可知， BD PC 当 DM PC(或 BM PC)时，有 PC 平面 MBD 又 PC 平面 PCD， 平面 MBD 平面 PCD 7如图 7513，在三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 _ 图 7513 3 取 BC 的中点 E，连接 AE， DE，则 AE 平面 BB1C1C 所以 ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角 设三棱柱的所有棱长为 a， 在 Rt AED 中， AE 32 a， DE a2. 所以 tan ADE AEDE 3，则 ADE 3. 故
7、 AD 与平面 BB1C1C 所成的角为 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 (2016 全国卷 ) ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 m n， m ， n ，那么 . 如果 m ， n ，那么 m n. 如果 ， m ，那么 m . 如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有 _ (填写所有正确命题的编号 ) 【导学号： 00090260】 对于 ， ， 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误 对于 ，由线面平行的性质定理知存在直线 l ， n l，又 m ，所以 m l，所以m n，故正确 对于 ，因为 ，所以 ，
8、 没有公共点又 m ，所以 m， 没有公共点，由线面平行的定义可知 m ，故正确 对于 ，因为 m n，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等因为 ，所以 n 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，故正确 三、解答题 9. (2015 北京高考 )在三棱锥 VABC 中，平面 VAB 平面 ABC， VAB 为等边三角形， ACBC 且 AC BC 2， O， M 分别为 AB， VA 的中点 图 7514 (1)求证： VB 平面 MOC； (2)求证：平面 MOC 平面 VAB； (3)求三棱锥 VABC 的体积 解 (1)证明：因为
9、 O， M 分别为 AB， VA 的中点， 所以 OM VB 3 分 又因为 VB 平面 MOC，所以 VB 平面 MOC 5 分 (2)证明：因为 AC BC， O 为 AB 的中点，所以 OC AB 又因为平面 VAB 平面 ABC，且 OC 平面 ABC， 所以 OC 平面 VAB 所以平面 MOC 平面 VAB 8 分 (3)在等腰直角三角形 ACB 中， AC BC 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 AB 2， OC 1. 所以等边三角形 VAB 的面积 S VAB 3. 9 分 又因为 OC 平面 VAB， 所以三棱锥 CVAB 的体积等于 13OC S VAB 33
10、. 又因为三棱锥 VABC的体积与三棱锥 CVAB的体积相等，所以三棱锥 VABC的体积为 33 .12 分 10 O 的直径 AB 4，点 C， D 为 O 上两点，且 CAB 45 ， F 为 的中点沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直 (如图 7515 ) 图 7515 (1)求证： OF 平面 ACD； (2)在 AD 上是否存在点 E，使得平面 OCE 平面 ACD？若存在，试指出点 E 的位置；若不存在， 请说明理由 解 (1)证明：由 CAB 45 ，知 COB 90 ， 1 分 又因为 F 为 的中点， 所以 FOB 45 ，因此 OF AC， 3 分 又 AC 平面
11、ACD， OF 平面 ACD， 所以 OF 平面 ACD 5 分 (2)存在， E 为 AD 中点， 因为 OA OD，所以 OE AD 7 分 又 OC AB 且两半圆所在平面互相垂直 所以 OC 平面 OAD 9 分 又 AD 平面 OAD，所以 AD OC， 由于 OE， OC 是平面 OCE 内的两条相交直线， 所以 AD 平面 OCE. 又 AD 平面 ACD， 所以平面 OCE 平面 ACD 12 分 B 组 能力提升 =【 ;精品教育资源文库 】 = (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2017 贵州贵阳二模 )如图 7516，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC，
12、CD 的中点，沿AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P 点在 AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是 ( ) 图 7516 A O 是 AEF 的垂心 B O 是 AEF 的内心 C O 是 AEF 的外心 D O 是 AEF 的重心 A 由题意可知 PA， PE， PF 两两垂直， 所以 PA 平面 PEF，从而 PA EF， 而 PO 平 面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P， 所以 EF 平面 PAO， 所以 EF AO，同理可知 AE FO， AF EO， 所以 O 为 AEF 的垂心 2如图 7517，在三
13、棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1 底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC 2a， BB1 3a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF _时， CF 平面 B1DF. 图 7517 a 或 2a B1D 平面 A1ACC1， CF B1D 为了使 CF 平面 B1DF，只要使 CF DF(或 CF B1F) 设 AF x，则 CD2 DF2 FC2， x2 3ax 2a2 0， x a 或 x 2A 3 (2016 四川高考 )如图 7518，在四棱锥 PABCD 中， PA CD， AD BC， ADC PAB 90 ， BC CD 12
14、AD =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7518 (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM 平面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB 平面 PBD 【导学号： 00090261】 解 (1)取棱 AD 的中点 M(M 平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点 理由如下 ：连接 CM， 因为 AD BC， BC 12AD， 所以 BC AM，且 BC AM. 2 分 所以四边形 AMCB 是平行四边形， 所以 CM AB 又 AB 平面 PAB， CM 平面 PAB， 所以 CM 平面 PAB (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点 ) 5 分 (2)证明：由已知， PA AB， PA CD， 因为 AD BC， BC 12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA 平面 ABCD，所以 PA BD 8 分 因为 AD BC， BC 12AD， M 为 AD 的中点，连接 BM， 所以 BC MD，且 BC MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM CD 12AD，所以 BD AB 又 AB AP A，所以 BD 平面 PAB 又 BD 平面 PBD，所以平面 PAB 平面 PBD 12 分
