1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十五 ) 空间向量及其运算 A 组 基础达标 一、选择题 1在空间直角坐标系中， A(1,2,3)， B( 2， 1,6)， C(3,2,1)， D(4,3,0)，则直线 AB 与CD 的位置关系是 ( ) A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 B 由题意得， AB ( 3， 3,3)， CD (1,1， 1)， AB 3CD ， AB 与 CD 共线， 又 AB 与 CD 没有公共点 AB CD. 2 (2017 上饶期中 )如图 766，三棱锥 OABC 中， M， N 分别是 AB， OC 的中点，设 OA a，OB b， OC c，
2、用 a， b， c 表示 NM ，则 NM ( ) 图 766 A.12( a b c) B.12(a b c) C.12(a b c) D.12( a b c) B NM NA AM (OA ON ) 12AB OA 12OC 12(OB OA ) 12OA 12OB 12OC 12(a bc) 3 (2017 武汉三中月考 )在空间直角坐标系中，已知 A(1， 2,1)， B(2,2,2)，点 P 在 z轴上，且满足 |PA| |PB|，则 P 点坐标为 ( ) A (3,0,0) B (0,3,0) =【 ;精品教育资源文库 】 = C (0,0,3) D (0,0， 3) C 设 P(
3、0,0， z)， 则有 (1 0)2 ( 2 0)2 (1 z)2 (2 0)2 (2 0)2 (2 z)2， 解得 z 3.故选 C. 4已知 a (1,0,1)， b (x,1,2)，且 a b 3，则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) 【导学号： 79140246】 A.56 B 23 C. 3 D 6 D a b x 2 3， x 1， b (1,1,2) cos a， b a b|a| b| 32 6 32 . a 与 b 的夹角为 6 ，故选 D. 5如图 767，在大小为 45 的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE， CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B， D 两点间的
4、距离是 ( ) 图 767 A. 3 B 2 C 1 D 3 2 D BD BF FE ED ， | BD |2 |BF |2 |FE |2 |ED |2 2BF FE 2FE ED 2BF ED 1 1 1 2 32，故 |BD | 3 2. 二、填空题 6已知 a (2,1， 3)， b ( 1,2,3)， c (7,6， )，若 a， b， c 三向量共面，则 _. 9 由题意知 c xa yb， 即 (7,6， ) x(2,1， 3) y( 1,2,3)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以? 2x y 7，x 2y 6， 3x 3y ，解得 9. 7如图 768，已知 P 为矩形
5、 ABCD 所在平面外一点， PA 平面 ABCD，点 M 在线段 PC 上，点 N 在线段 PD 上，且 PM 2MC， PN ND，若 MN xAB yAD zAP ，则 x y z _. 图 768 23 MN PN PM 12PD 23PC 12(AD AP ) 23(PA AC ) 12AD 12AP 23AP 23(AB AD ) 23AB 16AD 16AP ， 所以 x y z 23 16 16 23. 8已知 a (x,4,1)， b ( 2， y， 1)， c (3， 2， z)， a b， b c，则 c _. (3， 2,2) 因为 a b，所以 x 2 4y 1 1，
6、 解得 x 2， y 4， 此时 a (2,4,1)， b ( 2， 4， 1)， 又因为 b c，所以 b c 0， 即 6 8 z 0，解得 z 2，于是 c (3， 2,2) 三、解答题 9已知空间中三点 A( 2,0,2)， B( 1,1,2)， C( 3,0,4)，设 a AB ， b AC . (1)若 |c| 3，且 c BC ，求向量 c； (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值 . 【导学号： 79140247】 解 (1) c BC ， BC ( 3,0,4) ( 1,1,2) =【 ;精品教育资源文库 】 = ( 2， 1,2)， c mBC m( 2， 1,2)
7、( 2m， m,2m)， | c| ( 2m)2 ( m)2 (2m)2 3|m| 3， m 1. c ( 2， 1,2)或 (2,1， 2) (2) a (1,1,0)， b ( 1,0,2) a b (1,1,0)( 1,0,2) 1. 又 | a| 12 12 02 2， |b| ( 1)2 02 22 5， cos a， b a b|a| b| 110 1010 ， 故向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 1010 . 10已知 a (1， 3,2)， b ( 2,1,1)， A( 3， 1,4)， B( 2， 2,2) (1)求 |2a b|； (2)在直线 AB 上，是否存在一点
8、 E，使得 OE b？ (O 为原点 ) 解 (1)2a b (2， 6,4) ( 2,1,1) (0， 5,5)，故 |2a b|02 ( 5)2 52 5 2. (2)令 AE tAB (t R)， 所以 OE OA AE OA tAB ( 3， 1,4) t(1， 1， 2) ( 3 t， 1 t,4 2t)， 若 OE b，则 OE b 0， 所以 2( 3 t) ( 1 t) (4 2t) 0，解得 t 95.因此存在点 E，使得 OE b，此时 E 点的坐标为 ? ? 65， 145 ， 25 . B 组 能力提升 11 A， B， C， D 是空间不共面的四点，且满足 AB AC
9、 0， AC AD 0， AB AD 0， M 为 BC中点，则 AMD 是 ( ) A钝角三角形 B锐角三角形 =【 ;精品教育资源文库 】 = C直 角三角形 D不确定 C M 为 BC 中点， AM 12(AB AC )， AM AD 12(AB AC ) AD 12AB AD 12AC AD 0. AM AD， AMD 为直角三角形 12已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VA VB VC VD， VP 13VC ， VM 23VB ， VN 23VD .则 VA 与平面 PMN 的位置关系是 _. 【导学号： 79140248】 平行 如图，设 VA a， VB b， V
10、C c，则 VD a c b，由题意知 PM 23b 13c， PN 23VD 13VC 23a 23b 13c. 因此 VA 32PM 32PN ， VA ， PM ， PN 共面 又 VA?/ 平面 PMN， VA 平面 PMN. 13.如图 769，在直三棱柱 ABCA B C 中， AC BC AA ， ACB 90 ， D， E 分别为AB， BB 的中点 图 769 (1)求证： CE A D； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求异面直线 CE 与 AC 所成角的余弦值 解 (1)证明：设 CA a， CB b， CC c， 根据题意得， |a| |b| |c|， 且 a b b c c a 0， CE b 12c， A D c 12b 12a. CE A D 12c2 12b2 0. CE A D ，即 CE A D. (2) AC a c， |AC | 2|a|， |CE | 52 |a|. AC CE ( a c) ? ?b 12c 12c2 12|a|2， cos AC ， CE 12|a|22 52 |a|2 1010 . 即异面直线 CE 与 AC 所成角的余弦值为 1010 .
