1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 _合 1集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性： 确定性 、 无序性 、 互异性 (2)元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ?. (3)集合的三种表示方法： 列举法 、 描述法 、 图示法 (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或 N Z Q R 2集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合 A的 元素 都是集合 B的元素 x A? x B A?B 或 B?A 真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B中 至少 有
2、一个元素不属于 A A?B，且 ? x0 B， x0?A A B 或 B A 相等 集合 A， B 的元素完全 相同 A?B， B?A A B 空集 不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的 子集 ，是任何非空集合 B 的 真子集 ? x， x?， ?A，? B(B ?) ? 3集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A B A B 若全集为 U，则集合 A 的补集为 ?UA =【 ;精品教育资源文库 】 = 图形 表示 意义 x|x A，或 x B x|x A，且 x B x|x U，且 x?A 4集合的运算性质 (1)并集的性质： A ? A； A A A； A B
3、 B A； A B A?B?A. (2)交集的性质： A ? ?； A A A； A B B A； A B A?A?B. (3)补集的性质： A (?UA) U； A( ?UA) ?； ?U(?UA) A； ?U(A B) (?UA)( ?UB)； ?U(A B) (?UA) (?UB) 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)若 x2,1 0,1，则 x 0,1.( ) (2)x|x1 t|t1 ( ) (3)x|y x2 1 y|y x2 1 (x， y)|y x2 1 ( ) (4)任何一个集合都至少有两个子集 ( ) (5)若 A B，则 A?B 且 A B.(
4、 ) (6)对于任意两个集合 A， B，关系 (A B)?(A B)恒成立 ( ) (7)若 A B A C，则 B C.( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2 (2017 全国卷 )设集合 A 1,2,3， B 2,3,4，则 A B ( ) A 1,2,3,4 B 1,2,3 C 2,3,4 D 1,3,4 解析：选 A 由题意得 A B 1,2,3,4 3 (2017 北京高 考 )若集合 A x| 23，则 A B ( ) A x| 20，则集合 A与 B 的关系是 ( ) A B?A B B?A C B A D A B 解析：选 A 因为 A x|
5、 x2 x 21或 x0 ? ?x?x52 . 在数轴上标出集合 A 与集合 B，如图所示， 可知， B?A. 题型技法 判断集合间关系的 3 种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 (如第 1 题 ) 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 (如第 2 题 ) 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 (如第 3 题 ) (二 )迁移考 利用集合间关系求参数 4 (2018 云南师大附中模拟 )集合 A x|x2 a0 ， B x|x0
6、时，解不等式 x2 a，得 a x a.所以 A a，a 由 A?B 可得， a1，b3 ； 若 A?B，则 ? a1 ，b3 考点三 集合的基本 运算 重点保分型考点 师生共研 集合的基本运算是历年高考的热点 .高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式、求函数定义域和值域等知识相结合，考查题型主要是选择题，偶尔也出现填空题，属于基础题 . 典题领悟 1已知集合 A x|x2 6x 50 ， B x|y log2(x 2)，则 A B ( ) A (1,2) B 1,2) C (2,5 D 2,5 解析：选 C 由 x2 6x 50 的解集为 x|1
7、 x5 ，得 A 1,5由 x 20，解得x2，故 B (2， ) 把两个集合 A， B 在数轴上表示出来，如图，可知 A B (2,5 2 (2018 湖南湘潭模拟 )已知全集 U R，集合 M x|x|0， B x|2 x2 ，则如图所示阴影部分所表示的集合为 ( ) A x| 2 x4，因此 ?RA x| 1 x4 ，题中的阴影部分所表示的集合为 (?RA) B x| 1 x2 ，选 D. 解题师说 1 掌握 “4 种技巧 ” (1)先 “ 简 ” 后 “ 算 ” ：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等如求集合 P ? ?x?1x1 的
8、补集，要先进行化简，若直接否定集合 P 中元素的性质特征，就会误以为 ?RP ? ?x?1x1 ，导致漏解 (2)遵 “ 规 ” 守 “ 矩 ” ：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住 “ 公共元=【 ;精品教育资源文库 】 = 素 ” ，补集的运算要关注 “ 你有我无 ” 的元素 (3)活 “ 性 ” 减 “ 量 ” ：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即 ?U(M N) (?UM) (?UN)， ?U(M N) (?UM)( ?UN)等简化运算，减少运算量 (4)借 “ 形 ” 助 “ 数 ” ：在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直
9、观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍 (如典题领悟第 1 题 ) 2谨防 “2 种失误 ” (1)进行集合基本运算时要注意对应不等式 端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍 (如典题领悟第 2 题 ) (2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解 (如典题领悟第 3 题、冲关演练第 3 题 ) 冲关演练 1 (2017 天津高考 )设集合 A 1,2,6， B 2,4， C x R| 1 x5 ，则 (AB) C ( ) A 2 B 1,2,4 C 1,2,4,6 D x R| 1 x5 解析：选 B
10、A B 1,2,4,6，又 C x R| 1 x5 ，则 (A B) C 1,2,4 2 (2018 合肥质量检测 )已知集合 A 1， ) ， B ? ?x R ?12a x2 a 1 ，若 A B?，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 1， ) B.? ?12， 1 C.? ?23， D (1， ) 解析：选 A 因为 A B ?，所以? 2a 11 ，2a 1 12a， 解得 a1. 3 (2018 皖北协作区联考 )已知集合 A y|y x2 1， B x|y lg(x 2x2)，则?R(A B) ( ) A.? ?0， 12 B ( ， 0) ? ?12， C.? ?0， 12 D
11、 ( ， 0 ? ?12， 解析：选 D 因为 A y|y x2 1 0， ) ， B x|y lg(x 2x2) ? ?0， 12 ，所以 A B ? ?0， 12 ，所以 ?R(A B) ( ， 0 ? ?12， . =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点四 集合的新定义问题 重点保分型考点 师生共研 以集合为载体的新定义问题，是高考命制创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等，一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或偏上 . 典题领悟 1设集合 A 1,0,1，集合 B 1,1,2,3，定义 A#B ? ?z ?z xy， x A， y B ，则 A#B 中元素的个
12、数是 ( ) A 5 B 7 C 10 D 15 解析：选 B 因为 x A，所以 x 可取 1,0,1； 因为 y B，所以 y 可取 1,1,2,3. 则 z xy的结果如下表所示： y x 1 1 2 3 1 1 1 12 13 0 0 0 0 0 1 1 1 12 13 故 A#B 中元素有 1， 12， 13， 0， 13， 12， 1，共 7 个，故选 B. 2已知集合 M (x， y)|y f(x)，若对于任意实数对 (x1， y1) M，都存在 (x2， y2)M，使得 x1x2 y1y2 0 成立，则称集合 M 是 “ 垂直对点集 ” 给出下列四个集合： M ? ?x， y
13、?y 1x ； M (x， y)|y log2x； M (x， y)|y ex 2； M (x， y)|y sin x 1 其中是 “ 垂直对点集 ” 的序号是 ( ) A B C D 解析：选 C 记 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由 x1x2 y1y2 0 得 OA OB.对于 ，对任意 A M，不存在 B M，使得 OA OB.对于 ，当 A 为点 (1,0)时，不存在 B M 满足题意对于 ，对任意 A M，过原点 O 可作 直线 OB OA，它们都与函数 y ex 2 及 y sin x 1 的图象相=【 ;精品教育资源文库 】 = 交，即 满足题意，故选 C. 3设集
14、合 A 1,0,1，集合 B 0,1,2,3，定义 A*B (x， y)|x A B， y AB，则 A*B 中元素的个数是 ( ) A 7 B 10 C 25 D 52 解析：选 B 因为 A 1,0,1， B 0,1,2,3， 所以 A B 0,1， A B 1,0,1,2,3 由 x A B，可知 x 可取 0,1； 由 y A B，可知 y 可取 1,0,1,2,3. 所以元素 (x， y)的 所有结果如下表所示： y x 1 0 1 2 3 0 (0， 1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1， 1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以 A*B 中的元素共有 10 个 解题师说 与集合相关的新定义问题的解题思路 (1)紧扣 “ 新 ” 定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在 (2)把握 “ 新 ” 性质：集合的性质 (概念、元素的性质、运算性质等 )是破解新定义型集合问题的基础， 也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质 (3)遵守 “ 新 ” 法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可 冲关演练 1定义集合的商集运算为 AB ? ?
