1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解命题的概念；了解 “ 若 p，则 q” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 .2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 (对应学生用书第 3 页 ) 基础知识填充 1四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 图 121 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 2充分条件与必要条件 (1)若 p?q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的 必要 条件；
2、 (2)若 p?q，且 ?/p，则 p 是 q 的充分不必要条件； (3)若 p?/q 且 q?p，则 p 是 q 的必要不充分条件； (4)若 p?q，则 p 是 q 的充要条件； (5)若 p?/q 且 q?/p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 知识拓展 集合与充要条件 设集合 A x|x 满足条件 p， B x|x 满足条件 q，则有： (1)若 A?B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件 (2)若 B?A， 则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件 (3)若 A B，则 p 是 q 的充要条件 基本能力自测
3、1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)“ x2 2x 30” 是命题 ( ) (2)命题 “ 若 p，则 q” 的否命题是 “ 若 p，则 q” ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) (4)当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件 ( ) (5)“ 若 p 不成立，则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立，则 p 成立 ” ( ) 解析 (1)错误该语句不 能判断真假，故该说法是错误的 (2)错误否命题既否定条件，又否定结论 (3)正确因为两个命题互为逆否命题，
4、它们有相同的真假性 (4)正确 q 是 p 的必要条件说明 p?q，所以 p 是 q 的充分条件 (5)正确原命题与逆否命题是等价命题 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (教材改编 )命题 “ 若 4 ，则 tan 1” 的逆否命题是 ( ) A若 4 ，则 tan 1 B若 4 ，则 tan 1 C若 tan 1 ，则 4 D若 tan 1 ，则 4 C “ 若 p，则 q” 的逆否命题是 “ 若 q，则 p” ，显然 q： tan 1 ， p： 4 ，所以该命题的逆否命题是 “ 若 tan 1 ，则 4 ” 3 “ x 1” 是 “( x 1)(x 2) 0” 的 ( )
5、A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 若 x 1，则 (x 1)(x 2) 0 显然成立，但反之不一定成立，即若 (x 1)(x 2)0，则 x 1 或 2. 4命题 “ 若 a 3，则 a 6” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 B 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为 “ 若 a 6，则 a 3” 是假命题，从而其否命题也是假命题因此 4 个命题中有 2 个真命题 5 (2017 天津高考 )设 x R，则 “2 x0” 是 “| x 1|1” 的 ( ) A充分而不必要条件 =【 ;精品教
6、育资源文库 】 = B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 B 2 x0 ， x2. | x 1|1 ， 0 x2. 当 x2 时不一定有 x0 ，当 0 x2 时一定有 x2 ， “2 x0” 是 “| x 1|1” 的必要而不充分条件 故选 B. (对应学生用书第 4 页 ) 四种命题的关系及其真假判断 (1)命题 “ 若 a2 b2，则 a b” 的否命题是 ( ) A若 a2 b2，则 a b B若 a2 b2，则 a b C若 a b，则 a2 b2 D若 a b，则 a2 b2 (2)(2017 河南开封二十五中月考 )下列命题中为真命题的是 ( ) A命题 “ 若
7、 x 1，则 x2 1” 的否命题 B命题 “ 若 x y，则 x |y|” 的逆命题 C命题 “ 若 x 1，则 x2 x 2 0” 的否命题 D命题 “ 若 1x 1，则 x 1” 的逆否命题 (1)B (2)B (1)根据命题的四种形式可知，命题 “ 若 p，则 q” 的否命题是 “ 若 p，则 q” 该题中， p 为 a2 b2， q 为 a b，故 p 为 a2 b2， q 为 a b.所以原命题的否命题为：若 a2 b2，则 a b. (2)对于 A，命题 “ 若 x 1，则 x2 1” 的否命题为 “ 若 x1 ，则 x21” ，易知当 x 2 时， x2 4 1，故为假命题 ；
8、对于 B，命题 “ 若 x y，则 x |y|” 的逆命题为 “ 若 x |y|，则 x y” ，分析可知为真命题；对于 C，命题 “ 若 x 1，则 x2 x 2 0” 的否命题为 “ 若 x1 ，则 x2 x 20” ，易知当 x 2 时， x2 x 2 0，故为假命题；对于 D，命题 “ 若 1x 1，则 x 1” 的逆否命题为 “ 若 x1 ，则 1x1” ，易知为假命题，故选 B. 规律方法 命题真假的两种判断方法 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等 价关系进行判断 . 易错警示： 写一个命题
9、的其他三种命题时，需注意： 对于不是 “ 若 p，则 q” 形式的命题，需先改写； 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提 . 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例 .) 跟踪训练 (2017 南昌十校二模 )已知命题 “ 已知 a， b， c 为实数，若 abc 0，则 a， b，c 中至少有一个等于 0” ，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) 【导学号： 79140007】 A 0 B 1 C 2 D 3 D 原命题 为真命题，逆命题为 “ 已知 a， b， c 为实数，若 a， b， c 中至少有一个等于0，则 abc 0
10、” ，也为真命题根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 3. 充分条件与必要条件的判断 (1)(2017 北京高考 )设 m， n 为非零向量，则 “ 存在负数 ，使得 m n” 是“ m n0” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2017 安徽百所重点高中二模 )“ a3 b3” 是 “ln a ln b” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (1)A (2)B (1)法一：由题意知 |m|0 ， |n|0. 设
11、 m 与 n 的夹角为 . 若存在负数 ，使得 m n， 则 m 与 n 反向共线， 180 ， m n |m|n|cos |m|n|0. 当 90 180 时， m n0，此时不存在负数 ，使得 m n. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 “ 存在负数 ，使得 m n” 是 “ m n0” 的充分而不必要条件 故选 A. 法二： m n， m n n n |n|2. 当 0， n 0 时， m n0. 反之，由 m n |m|n|cos m， n 0?cos m， n 0? m， n ? ? 2 ， ， 当 m， n ? ? 2 ， 时， m， n 不共线 故 “ 存在负数 ，使得 m
12、n” 是 “ m n0” 的充分而不必要条件 故选 A. (2)由 a3 b3可得 a b，当 a 0， b 0 时， ln a， ln b 无意义；反之，由 ln aln b 可得 a b，故 a3 b3.因此 “ a3 b3” 是 “ln a ln b” 的必要不充分条件 规律方法 充分条件、必要条件的三种判断方法 定义法：根据 p?q， q?p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题 . 集合法：根据 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 . 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结
13、论带有否定性词语的命题 . 跟踪训练 (1)(2017 天津高考 )设 R，则 “ ? ? 12 12” 是 “sin 12” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2018 合肥第一次质检 )祖暅原理： “ 幂势既同，则积不容异 ” 它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等设 A， B 为两个同高的几何体， p： A， B 的体积不相等， q： A， B 在等高处的截面积不恒相等，根据 祖暅原理可知， p 是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既
14、不充分也不必要条件 (1)A (2)A (1) ? ? 12 12， 12 1212，即 0 6. =【 ;精品教育资源文库 】 = 显然 0 6 时， sin 12成立 但 sin 12时，由周期函数的性质知 0 6 不一定成立 故 0 6 是 sin 12的充分而不必要条件 故选 A. (2)由祖 暅 原理可得 q? p，即 p?q，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等， p 是 q 的充分不必要条件，故选 A. 充分条件、必要条件的应用 已知 P x|x2 8x 200 ，非空集合 S x|1 m x1 m若 x P 是 x S 的必要条件，则 m 的取值范围为 _ 0,3 由 x2 8x 200 得 2 x10 ， P x| 2 x10 ， 由 x P 是 x S 的必要条件，知 S?P. 则? 1 m
